Fonction linéaire, fonction affine
Fonction linéaire, fonction affine
Fonction linéaire, fonction affine
Fonctions linéaires
Une fonction linéaire est un procédé qui à un nombre x associe un nombre f(x) de la forme f(x)=ax où a, le coefficient directeur, est un nombre donné et on la note xf→f(x)=ax.
Une fonction linéaire aura pour représentation graphique une droite passant toujours par l’origine du repère, c’est à dire le point de coordonnées (0;0).
Selon la valeur de a, l’inclinaison de la droite sera différente : plus a est grand (et positif), plus la droite monte, plus a est petit et positif, moins la droite monte. Si a est négatif, la droite descend.
Sur le graphique, la fonction f associe au nombre 1 le nombre 2.
Ainsi f(1)=2.
Or la forme générale de f est f(x)=a×x donc f(1)=a×1=a et f(1)=2 donc a=2.
Ainsi ce graphique est le représentation graphique de la fonction f(x)=2x.
Fonctions affines
Une fonction affine est de la forme xf→f(x)=ax+b où a, le coefficient directeur, et b, l’ordonnée à l’origine, sont des nombres donnés.
b s’appelle l‘ordonnée à l’origine car la représentation graphique des fonction affines est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point b.
La valeur de a donne l’inclinaison de la droite. Plus a est grand et positif, plus la droite monte; plus a est petit, plus la droite descend.
Enfin, les fonctions linéaires sont un cas particulier des fonctions affines, avec b=0.
Déterminer une fonction affine connaissant 2 points - Le rappel de cours
Déterminer une fonction affine connaissant 2 points
Méthode :
Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
Il s’agit de déterminer les valeurs de a et de b connaissant les coordonnées de deux points appartenant à la représentation graphique de f.
La représentation graphique ci-dessous n’est point utile mais permet tout de même de visualiser la fonction f.
Les points connus sont N(2;0) et P(−1;−3).
Si un point appartient à la courbe représentative de la fonction f, alors ses coordonnées vérifient l’équation de f, sachant que x correspond à l’abscisse du point et f(x) à son ordonnée.
Ainsi, comme N appartient à la droite, on peut alors écrire : a×2+b=0.
De même, P appartient à la droite, donc a×(−1)+b=−3.
Ces deux équations à deux inconnues permettent donc d’écrire un système d’équation qu’il faut résoudre :
{2a+b=0−a+b=−3
Il suffit ensuite d’isoler b :
{b=−2ab=−3+a
Ainsi, −2a=−3+a : a est alors l’unique inconnue. On résout alors cette équation −3a=−3 donc a=1.
Enfin, pour déterminer b, il suffit de remplacer dans une des deux équations a par sa valeur : b=−2×1=−2.
La fonction f s’écrit donc
f(x)=x–2
Il est alors possible de vérifier ce résultat à l’aide du graphique.
Le coefficient directeur est 1. L’ordonnée à l’origine est -2.
