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Fonctions, image, antécédent

Image d'un nombre par une fonction

Image d’un nombre par une fonction

 

Notion intuitive d’image

 

Considérons la courbe de température suivante :

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L‘ensemble de définition de la fonction est [0,24], c’est à dire que l’étude se fait sur une journée complète à partir de minuit. 

L’ordonnée est la température, il s’agit donc de la représentation graphique de la température en fonction du temps.

Ainsi, le temps est sur l’axe des abscisses. 

 

Question : quelle température faisait-il à 3h du matin ?

On lit graphiquement que la température à 3h du matin est 9°C. 

Ainsi, on dira que l’image de 3 par la fonction f vaut 9 : il n’y a plus d’unité. On notera aussi f(3)=9

 

Définition

 

Soit f une fonction et a et b deux réels vérifiants f(a)=b.

On dit que b est l’image de a par f.

Ou encore :  l’image de a par f vaut b.

 

Autre exemple :

Pour trouver l’image de 15, on se place sur l’axe des abscisses à t=15 puis on trace la droite perpendiculaire à cet axe et on regarde l’ordonnée du point d’intersection entre cette droite et la courbe de f :

On lit f(15)=15.

Antécédent d'un nombre par une fonction

Antécédent d’un nombre par une fonction

 

Définition

 

Soit f une fonction et deux réels a et b vérifiant f(a)=b

On dit que b est l’image de a par f. (c’est une valeur unique)

On dit que a est un antécédent par f de b. (il peut y en avoir plusieurs)

 

Exemples

 

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Cherchons le ou les antécédents, s’ils existent de 14

Cela revient à chercher l’heure à laquelle la température était de 14°C.

 

Pour ce faire, on se place sur l’axe des ordonnées (l’axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d’intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.

Ici, il y a deux points d’intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h.  

Il se peut que dans certains cas il n’y ait aucune solution

 

Mathématiquement, le fait qu’il ait fait 14°C à 12h et 18h se traduit par :

Les antécédents de 14 par la fonction f sont 12 et 18.

 

Ou encore :  les solutions de l’équation f(t)=14 sont S={12;18}.

 

Considérons l’équation f(t)=10 : on cherche donc les antécédents de 10 par f.

Les solutions sont donc S={0;6;24}

 

Considérons l’équation f(t)=16 : on cherche donc les antécédents de 16 par f.

La température de 16°C n’étant jamais atteinte, cette équation n’admet pas de solution : 

S=.

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