Image d'un nombre par une fonction
Image d’un nombre par une fonction
Notion intuitive d’image
Considérons la courbe de température suivante :
L‘ensemble de définition de la fonction est [0,24], c’est à dire que l’étude se fait sur une journée complète à partir de minuit.
L’ordonnée est la température, il s’agit donc de la représentation graphique de la température en fonction du temps.
Ainsi, le temps est sur l’axe des abscisses.
Question : quelle température faisait-il à 3h du matin ?
On lit graphiquement que la température à 3h du matin est 9°C.
Ainsi, on dira que l’image de 3 par la fonction f vaut 9 : il n’y a plus d’unité. On notera aussi f(3)=9.
Définition
Soit f une fonction et a et b deux réels vérifiants f(a)=b.
On dit que b est l’image de a par f.
Ou encore : l’image de a par f vaut b.
Autre exemple :
Pour trouver l’image de 15, on se place sur l’axe des abscisses à t=15 puis on trace la droite perpendiculaire à cet axe et on regarde l’ordonnée du point d’intersection entre cette droite et la courbe de f :
On lit f(15)=15.
Antécédent d'un nombre par une fonction
Antécédent d’un nombre par une fonction
Définition
Soit f une fonction et deux réels a et b vérifiant f(a)=b
On dit que b est l’image de a par f. (c’est une valeur unique)
On dit que a est un antécédent par f de b. (il peut y en avoir plusieurs)
Exemples
Cherchons le ou les antécédents, s’ils existent de 14
Cela revient à chercher l’heure à laquelle la température était de 14°C.
Pour ce faire, on se place sur l’axe des ordonnées (l’axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d’intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.
Ici, il y a deux points d’intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h.
Il se peut que dans certains cas il n’y ait aucune solution.
Mathématiquement, le fait qu’il ait fait 14°C à 12h et 18h se traduit par :
Les antécédents de 14 par la fonction f sont 12 et 18.
Ou encore : les solutions de l’équation f(t)=14 sont S={12;18}.
Considérons l’équation f(t)=10 : on cherche donc les antécédents de 10 par f.
Les solutions sont donc S={0;6;24}.
Considérons l’équation f(t)=16 : on cherche donc les antécédents de 16 par f.
La température de 16°C n’étant jamais atteinte, cette équation n’admet pas de solution :
S=∅.