Fonctions exponentielles, variations

Variations de fonctions exponentielles

Variations de fonctions exponentielles 

Rappels

La fonction exponentielle peut se noter de diverses manières. 

Elle est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \exp(x) = e^x$ avec $e = \exp(1) \approx 2,718$.

De plus, $f(0) = 1$. 

En outre la dérivée de la fonction exponentielle est égale à la fonction elle même : on notera donc que $f'(x) = e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 

Enfin, on dispose de la propriété suivante :

Pour tout $x \in \mathbb{R}, \ e^x > 0$.

Comme $f'(x) = f(x)$ et que $f(x) > 0$, on peut conclure que la fonction $f$ est strictement croissante et positive sur $\mathbb{R}$. 

L’équation de la tangente à l’origine est :

$T_0 : y = f'(0)(x – 0) + f(0) = 1 \times x + 1 = x + 1$. 

Les fonctions $f(x) = e^{-kx}$, avec $k$ un nombre réel strictement positif. 

Soit $x \in \mathbb{R}$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = e^{-kx}$, $k > 0$.

$f$ est dérivable pour tout réel $x$ et $f'(x) = -k e^{-kx}$.

Or $-k < 0$ et $e^{-kx} > 0$ par définition de l’exponentielle, on en déduit ainsi que $f'(x) < 0$. 

La fonction $f$ est donc strictement décroissante. 

Si $k >1$, la décroissance de $f$ est plus importante. 

Toutes les fonctions passent par le point de coordonnées $(0; 1)$ car $f(0) = e^{-k \times 0} = 1$. 

Les fonctions $f(x) = e^{kx}$, avec $k$ un nombre réel strictement positif. 

Soit $x \in \mathbb{R}$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = e^{kx}$, $k > 0$.

$f$ est dérivable pour tout réel $x$ et $f'(x) = k e^{kx}$.

Or $k > 0$ et $e^{kx} > 0$ par définition de l’exponentielle, on en déduit ainsi que $f'(x) > 0$. 

La fonction $f$ est donc strictement croissante. 

Si $k >1$, la croissance de $f$ est plus forte. 

Toutes les fonctions passent par le point de coordonnées $(0; 1)$ car $f(0) = e^{k \times 0} = 1$.