Fonctions du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts
Polynômes s'annulant en 2 nombres réels distincts
Polynôme s’annulant en deux nombres réels distincts
Factorisation d’un polynôme de discriminant positif
Soit P un polynôme du second degré défini sur R par P(x)=ax2+bx+c avec a,b,c trois réels (a≠0).
On suppose que le discriminant est strictement positif, (Δ>0).
Le polynôme admet donc deux racines x1 et x2 telles que P(x1)=0 et P(x2)=0.
Le polynôme P se factorise donc sous la forme P(x)=a(x–x1)(x–x2).
Exemple 1 : deux racines évidentes
On suppose que P(x)=3x2+3x–18.
Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant.
On peut tester avec la calculatrice certaines valeurs évidentes de x comme −3;−2;−1;0;1;2;3;….
On trouve que P(−3)=0 et P(2)=0.
Ainsi P(x)=3(x–2)(x–(−3))=3(x–2)(x+3).
Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
Comme a=3>0, la parabole est dirigée “vers le haut”.
Exemple 2 : une seule racine évidente
Soit x∈R, on pose Q(x)=−x2–5x+6.
Comme la somme des coefficients vaut 0 (−1–5+6=0), une racine évidente est 1.
Pour trouver la seconde, on peut utiliser le fait que x1x2=ca=6−1=−6 donc x2=−6.
Ou encore, on sait que Q(x)=(x–1)(a′x+b′) et en développant on trouve la valeur des coefficients a′ et b′ en les identifiant avec la forme initiale de Q.
Ainsi, Q(x)=−(x–1)(x+6).
Comme a=−1<0, la courbe est dirigée “vers le bas”.
Exemple 3 : pas de racine évidente
On suppose enfin que R(x)=−3x2–12x+16. On ne trouve pas de racine évidente dans ce cas.
En effectuant la méthode du discriminant, on trouve que Δ=94>0 et ainsi,
x1=−b–√Δ2a=−13 et x2=−b+√Δ2a=16.
Ainsi R(x)=−3(x+13)(x–16)