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Fonctions du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts

Polynômes s'annulant en 2 nombres réels distincts

Polynôme s’annulant en deux nombres réels distincts

 

Factorisation d’un polynôme de discriminant positif

 

Soit P un polynôme du second degré défini sur R par P(x)=ax2+bx+c avec a,b,c trois réels (a0). 

On suppose que le discriminant est strictement positif, (Δ>0)

Le polynôme admet donc deux racines x1 et x2 telles que P(x1)=0 et P(x2)=0.

Le polynôme P se factorise donc sous la forme P(x)=a(xx1)(xx2)

 

Exemple 1 : deux racines évidentes

On suppose que P(x)=3x2+3x18

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant.

On peut tester avec la calculatrice certaines valeurs évidentes de x comme 3;2;1;0;1;2;3;.

On trouve que P(3)=0 et P(2)=0

Ainsi P(x)=3(x2)(x(3))=3(x2)(x+3)

Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. 
Comme a=3>0, la parabole est dirigée “vers le haut”. 

signe_(x-2)(x+3)

signe_second_degre2

 

Exemple 2 : une seule racine évidente

Soit xR, on pose Q(x)=x25x+6

Comme la somme des coefficients vaut 0 (15+6=0), une racine évidente est 1

Pour trouver la seconde, on peut utiliser le fait que x1x2=ca=61=6 donc x2=6.

Ou encore, on sait que Q(x)=(x1)(ax+b) et en développant on trouve la valeur des coefficients a et b en les identifiant avec la forme initiale de Q

Ainsi, Q(x)=(x1)(x+6)

Comme a=1<0, la courbe est dirigée “vers le bas”. 

signe_trinome_1

signe_second_degre1

 

Exemple 3 : pas de racine évidente

On suppose enfin que R(x)=3x212x+16. On ne trouve pas de racine évidente dans ce cas.

En effectuant la méthode du discriminant, on trouve que Δ=94>0 et ainsi,

x1=bΔ2a=13 et x2=b+Δ2a=16.

Ainsi R(x)=3(x+13)(x16)

signe_

signe_k(x)_=_-3x²_-_1_:_2_x_+_1_:_6

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