Étude de la fonction cosinus
Étude de la fonction cosinus
Etude de la fonction cosinus
Domaine de définition et dérivée
La fonction cosinus est définie sur R.
Elle est, en outre, 2π-périodique (ce qui signifie que pour tout x∈R,cos(x+2π)=cos(x))
et paire (pour tout x∈R,cos(−x)=cos(x)) ce qui permet de restreindre son étude à [0,π].
Son domaine de dérivabilité est R et pour tout x∈R,cos′(x)=−sin(x).
Variations sur [0,π]
Pour étudier les variations de la fonction cosinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de −sin(x) sur [0,π].
Représentation graphique
Courbe représentative de la fonction cosinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction:
Propriétés algébriques et autres formules
Pour tout x∈R, cos2(x)+sin2(x)=1.
Pour tout x∈R, cos(2x)=2cos2(x)−1.
Pour tous a,b réels, cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b).
Formule d’Euler : cos(θ)=eiθ+e−iθ2, où eiθ est le nombre complexe de module 1 et
d’argument θ : eiθ=cos(θ)+isin(θ).
cos(−x)=cos(x)
cos(x+π)=−cos(x)
cos(π2−x)=sin(x)
Étude de la fonction sinus
Etude de la fonction sinus
Domaine de définition et dérivée
La fonction sinus est définie sur R.
Elle est impaire (pour tout x∈R,sin(−x)=−sin(x)) et 2π-périodique (pour tout x∈R,sin(x+2π)=sin(x)) ce qui permet de restreindre son étude à [0,π].
Son domaine de dérivabilité est R et pour tout x∈R,sin′(x)=cos(x).
Variations sur [0,π]
Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de cos(x) sur [0,π].
Représentation graphique
Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :
Propriétés algébriques et autres formules
Pour tout x∈R, cos2(x)+sin2(x)=1.
Pour tout x∈R, sin(2x)=2cos(x)sin(x)
Pour tous a,b réels, sin(a+b)=cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a).
Formule d’Euler : sin(θ)=eiθ−e−iθ2i.
sin(−x)=−sin(x)
sin(x+π)=−sin(x)
sin(π2−x)=cos(x)
Équations trigonométriques
Equations trigonométriques
Egalité de cosinus ou de sinus
Conditions d’égalité de deux cosinus :
cos(x)=cos(a)⇔x=a+2kπ ou x=−a+2kπ avec k∈Z
Conditions d’égalité de deux sinus :
sin(x)=sin(a)⇔x=a+2kπ ou x=(π−a)+2kπ avec k∈Z
Exemple
Résoudre dans R l’équation sin(3x)=√22
On a √22=sin(π4) d’après le cours, donc :
sin(3x)=√22⇔3x=π4+2kπ ou 3x=(π−π4)+2kπ=3π4+2kπ
C’est à dire :
x=π12+2kπ3 ou x=π4+2kπ3 avec k∈Z
Équations trigonométriques - Exercice
Résoudre dans R les équations suivantes :
1) cos x=−√32
2) sin 3x=√22
Cosinus et sinus d'un nombre réel
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définition
Soit x∈R.
En plaçant le point x sur le cercle trigonométrique, le cosinus de x est l’abscisse de ce point et le sinus de x est son ordonnée.
Valeurs remarquables à connaître
