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Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

 

Définition

 

La fonction racine carrée est une fonction définie sur R+ à valeurs dans R+ et on la note {f:R+R+xx 

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas et le résultat est obligatoirement positif ou nul. 

 

Variations

 

La fonction est strictement croissante et son tableau de variations est le suivant :

 

 

variations_racine_carree

 

La démonstration de la croissance de la fonction racine carrée est exigible. 

Soient a et b deux réels positifs tel que a<b,

On souhaite montrer que a<b.

Pour cela, on étudie le signe de la différence ba

On utilise donc l’expression conjuguée :

ba=(ba)(b+a)a+b=baa+b

Or b>a donc ba>0. De plus, a+b est toujours positif.

Ainsi, baa+b>0 ce qui revient à dire que ba>0 ou encore b>a

 

Représentation graphique

 

 

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La position de la courbe représentation de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions y=x et y=x2 est aussi à connaitre. 

 

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On remarque dans un premier temps que les fonctions y=x2 et y=x sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x

Pour 0x1, la fonction y=x est au dessus de la fonction y=x elle même au dessus de la fonction y=x2.

Pour x1, l’ordre est inversé. 

 

Les démonstrations de ces positions sont exigibles. 

Pour étudier la position, on étudie le signe de f(x)g(x)f et g sont deux fonctions parmi les trois en utilisant la quantité conjuguée lorsque l’une des fonctions sera la fonction racine carrée. 

Etudions par exemple la position relative de y=x par rapport à y=x. On étudie alors le signe de xx:

Soit xR+, xx0x2xx+xx2x0x(x1)0x10 (car x est toujours positif).

Ainsi, pour x1, la fonction y=x est au dessus de la fonction racine carrée.

Pour x1, la fonction racine carrée est au dessus de la fonction y=x

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