Fonction racine carrée
Fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée est une fonction définie sur R+ à valeurs dans R+ et on la note {f:R+→R+x↦√x
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas et le résultat est obligatoirement positif ou nul.
Variations
La fonction est strictement croissante et son tableau de variations est le suivant :
La démonstration de la croissance de la fonction racine carrée est exigible.
Soient a et b deux réels positifs tel que a<b,
On souhaite montrer que √a<√b.
Pour cela, on étudie le signe de la différence √b–√a.
On utilise donc l’expression conjuguée :
√b–√a=(√b–√a)(√b+√a)√a+√b=b–a√a+√b
Or b>a donc b–a>0. De plus, √a+√b est toujours positif.
Ainsi, b–a√a+√b>0 ce qui revient à dire que √b–√a>0 ou encore √b>√a.
Représentation graphique
La position de la courbe représentation de la fonction racine carrée par rapport aux fonctions y=x et y=x2 est aussi à connaitre.
On remarque dans un premier temps que les fonctions y=x2 et y=√x sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Pour 0≤x≤1, la fonction y=√x est au dessus de la fonction y=x elle même au dessus de la fonction y=x2.
Pour x≥1, l’ordre est inversé.
Les démonstrations de ces positions sont exigibles.
Pour étudier la position, on étudie le signe de f(x)–g(x) où f et g sont deux fonctions parmi les trois en utilisant la quantité conjuguée lorsque l’une des fonctions sera la fonction racine carrée.
Etudions par exemple la position relative de y=x par rapport à y=√x. On étudie alors le signe de x–√x:
Soit x∈R+, x–√x≥0⟺x2–xx+√x⟺x2–x≥0⟺x(x–1)≥0⟺x–1≥0 (car x est toujours positif).
Ainsi, pour x≥1, la fonction y=x est au dessus de la fonction racine carrée.
Pour x≤1, la fonction racine carrée est au dessus de la fonction y=x.