Factorisation de polynômes de second degré

Factorisation d'un polynôme du second degré

Factorisation d’un polynôme du second degré

Rappels

Soit $P$ un polynôme du second degré définit pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^2 +bx + c$ avec $a, \, b, \, c$ trois réels ($a \neq 0$). 

Si $\Delta = 0$ alors $P(x) = a(x – x_0)^2$  avec $x_0$ la racine double de $P$.

Si $\Delta > 0$ alors $P(x) = a(x – x_1)(x – x_2)$  avec $x_1$ et $x_2$ les racines distinctes de $P$.

Si $\Delta < 0$ alors $P$ n’admet pas de forme factorisée. 

Propriétés

1) Si $\Delta > 0$ alors $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$. 

2) Si $a + b + c = 0$, alors $1$ est une racine du polynôme. 

Exemple 

On suppose que $P(x) = -2x^2  -4x + 6$. 

On remarque ici que $a + b + c = -2 – 4 + 6 =0$, donc $1$ est une racine du polynôme.

Or $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -3$. Ainsi $1 \times x_2 = x_2 = -3$.

Ainsi, la forme factorisée de $P$ est $P(x) = -2(x -1)(x – (-3)) = -2(x – 1)(x + 3)$. 

3) Si $c = 0$ alors $0$ est une racine du polynôme car $P(x) = x(ax + b)$ dans ce cas.

Exemple 

On suppose ici que $P(x) = 3x^2 – 4x$.

On remarque que $c = 0$, donc $P(0) = 0$. 

En outre, on sait que $x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}$.

Ainsi $x_1 + x_2 = 0$  donc $x_2 = \dfrac{4}{3}$.

Finalement, la forme factorisée de $P$ est $P(x) = 3x \left ( x – \dfrac{4}{3} \right)$. 

4) Si $b=0$, on peut essayer de factoriser avec une égalité remarquable

Exemple 

On suppose qu’ici $P(x) = 2x^2 -8$.

On remarque que $b = 0$. 

On peut alors factoriser ici par $2$ puis utiliser une identité remarquable.

$P(x) = 2(x^2 – 4) = 2(x – 2)(x + 2)$. 

5) Reconnaitre une égalité remarquable

Exemple 

On suppose enfin que $P(x) = 2x^2 -4x + 2$. 

On calcule tout d’abord $\Delta$ et on trouve $\Delta = 0$.

Cela signifie que l’on peut utiliser une identité remarquable pour factoriser directement le polynôme.

On commence par factoriser par $2$ :

$P(x) = 2(x^2 – 2x + 1) = 2(x – 1)^2$.