Factorisation de polynômes de 3e degré

Factorisation d'un polynôme du troisième degré

Factorisation d’un polynôme du troisième degré

Propriété

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ avec $a, b, c, d$ des réels ($a \neq 0$).

Si $x_0$ est une racine du polynôme ($P(x_0) = 0$) alors $P$ se factorise sous la forme suivante

$P(x) = (x – x_0)\times Q(x)$ avec $Q$ un polynôme du second degré.

Exemple 

Soit $P$ un polynôme du troisième degré défini par $P(x) = x^3 + 2x^2 + x – 4$. 

On cherche à écrire ce polynôme sous la forme $(x – x_0)\times Q(x)$ où $x_0$ est une racine évidente. 

On remarque ici que la somme des coefficients vaut $0$ : ($1 + 2 + 1 – 4 = 0$), ainsi $1$ est une racine évidente. 

On peut donc écrire $P$ sous la forme $P(x) = (x – 1) \times Q(x)$. 

Comme $Q$ est un polynôme du second degré, il s’écrit sous la forme $a’x^2 + b’x + c’$, avec $a’, b’, c’$ trois réels ($a’ \neq 0$) qu’il s’agit de déterminer. 

Pour déterminer la valeur des coefficients, la méthode consiste tout d’abord à développer le polynôme factorisé.

$P(x) = (x – 1) (a’x^2 + b’x + c’)$

$P(x) = a’x^3 + b’x^2 + c’x – a’x^2 -b’x -c’$

On regroupe ensuite les coefficients semblables.  

$P(x) = a’x^3 + (b’ – a’)x^2 + (c’ – b’)x – c’$

Or deux polynômes de même degré sont égaux si les coefficients sont égaux.

On peut donc écrire le système d’égalité suivant par égalité des coefficients entre le polynôme $P$ initial et la nouvelle égalité précédente :

$\left \{ \begin{array}{rcl} 1 &=& a’ \\ 2 &=& b’ – a’ \\ 1 &=& c’ – b’ \\ -4 &=& -c’ \\ \end{array} \right.$

On trouve alors que $\left \{ \begin{array}{l} a’ = 1 \\ b’ = 3 \\ c’ = 4 \\ \end{array} \right.$

Finalement on peut écrire $P$ sous la forme $P(x) = (x – 1)(x^2 + 3x + 4)$. 

En développant ce polynôme, on retrouve l’écriture initiale de ce dernier.

Remarques 

1) Lorsque $d = 0$, le polynôme peut se factoriser par $x$ et on obtient donc directement la factorisation.

Exemple 

$P(x) = x^3 -3x^2 + 5x = x(x^2 – 3x + 5)$

2) Lorsque l’énoncé demande de chercher une racine évidente, il s’agit d’utiliser sa calculatrice pour calculer le polynôme en certaines valeurs ($-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3$). 

Exemple 

$P(x) = 2x^3 + 2x^2 -28x – 48$

On trouve à l’aide de la calculatrice que $-2$ est une racine, c’est à dire $P(-2) = 0$. 

Ainsi, $P$ s’écrit sous la forme $P(x) = (x – (-2))Q(x) = (x + 2) Q(x)$.

On prendra ainsi garde au fait que la factorisation s’écrit $(x – x_0)$ et on utilisera ainsi des parenthèses pour ne pas se tromper.