Équations diophantiennes

Équations diophantiennes

Equation Diophantienne

Définition

Une équation diophantienne est une équation algébrique de la forme $ax+by=c$ (E) avec $a$, $b$ et $c$ entiers ($a$ et $b$ non nuls).

On cherche des couples $(x;y)$ d’entiers solutions.

Existence de solutions

(E) admet des solutions $\iff$ $PGCD(a,b)$ divise $c$

Dans l’équation suivante : (E) $4x-2y=1$, on a :

$PGCD(4;2)=2$ 

Or, 2 ne divise pas 1 donc l’équation n’a pas de solutions.

Exemple

Résoudre $41x-27y=1$   (E) dans $\mathbb{Z}^2$.

étape 1 : On cherche le $PGCD$ des nombres du membre de gauche. On effectue l’algorithme d’Euclide.

$41=27 \times 1 + 14$

$27= 14 \times 1 + 13$

$14= 13 \times 1 + 1$ 

Ainsi : $PGCD (41 ; 27)=1$.

41 et 27 sont premiers entre eux.

étape 2 : On vérifie que le $PGCD (41 ; 27)$ divise le membre de droite, soit 1.

L’équation (E) admet donc des solutions.

étape 3 : On cherche une solution particulière.

$41=27 \times 1 + 14$

$27= 14 \times 1 + 13$

$14= 13 \times 1 + 1$

On multiplie les deux membres de la première égalité par 2 et on remonte l’algorithme d’Euclide:

$13=14-1$ dans la deuxième égalité

$41=27 \times 1 + 14 \times 2$

$27= 14 \times 1 + 14-1$ car $13=14-1$

On a:

$41 \times 2 =27 \times 2 + 14 \times 2$

$27= 14 \times 1 + 14-1$

On a ainsi:

$41 \times 2 =27 \times 2 + 14 \times 2$

$27 +1= 14 \times 2$ et :

$41 \times 2 =27 \times 2 + 27 +1$

$41 \times 2 =27 \times 3 +1$

On déduit:

$41 \times 2 -27 \times 3 =1$

On repère ici une solution particulière de l’équation : le couple $(2 ; 3)$.

étape 4 : On cherche à présent l’ensemble des solutions de l’équation.

On sait que $41x-27y=1$ et que $41 \times 2 -27 \times 3 =1$.

On en déduit que $41x-27y=41 \times 2 -27 \times 3$ et que $41(x-2)=27(y-3)$.

On note que $41$ divise $27(y-3)$ et que $27$ divise $41(x-2)$.

Comme $41$ et $27$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss :

$41$ divise $(y-3)$ et $27$ divise $(x-2)$.

Il existe donc deux entiers $k$ et $k’$ tels que :

$y-3 = 41k$ et $x-2= 27k’$.

En effectuant un travail sur la réciproque de l’existence de ces solutions, on montre que $k=k’$.

Conclusion : L’ensemble des couples $(x;y)$ solutions de l’équation \textit{(E)} sont de la forme :

$S=\left(27k+2;41k+3\right)$ avec $k$ entier.