Équations différentielles y’ = ay + b

Équations différentielles y' = ay + b

Equations différentielles $y’ = ay + b$

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls,

Les solutions de l’équation différentielle $y’ = ay + b$ sont de la forme :

$f(x) =Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle. 

La démonstration n’est pas à connaitre mais l’esprit de la preuve est intéressant.

Démonstration :

On commence par montrer que les fonctions de la forme $f(x) = Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$ avec $C$ une constante réelle, sont solutions.

Tout d’abord, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = aCe^{ax}$.

En outre,

$af(x) + b = aCe^{ax} – b + b = aCe^{ax} = f'(x)$.

Donc $f$ est bien solution de l’équation différentielle.

Réciproquement, on souhaite montrer que les fonctions solutions de l’équation différentielles $y’ = ay + b$ sont de la forme $Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}$, avec $C$ une constante réelle.

On commence tout d’abord par montrer que la fonction $g(x) = -\dfrac{b}{a}$ est solution de l’équation différentielle.

En effet,

$g'(x) = 0$ et $ag(x) + b = -b + b = 0$.

Donc $g'(x) = ag(x) + b$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$,

On veut montrer l’équivalence suivante :

$f$ est solution de l’équation $y’ = ay + b$ si et seulement si $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.

Supposons que $f$ est solution de l’équation $y’ = ay + b$,

alors,

$(f – g)’ = f’ – g’ = af + b – (ag + b) = af – ag = a(f – g)$

Donc $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.

Supposons maintenant que $f – g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$,

alors,

$(f – g)’ = a(f – g) \iff f’ – af = g’ – ag$.

Or on a montré précédemment que $g$ était solution de l’équation différentielle $y’ = ay + b$ donc $g’ – ag = b$.

Ainsi,

$f’ – af = g’ – ag = b$ ou encore $f’ = af + b$.

Donc $f$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay + b$.

Or, on connait les fonctions solutions de l’équation différentielle $y’ = ay$ : il s’agit des fonctions de la forme $Ce^{ax}$ avec $C$ une constante réelle.

Ainsi, soit $f$ une solution de l’équation différentielle $y’ =ay + b$, alors $f-g = Ce^{ax}$ ou encore :

$f(x) = Ce^{ax} + g(x)$.

Or $g(x) = -\dfrac{b}{a}$.

Finalement,

$f(x) = Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$, c’est ce que l’on voulait démontrer.

Exercice type

Soit l’équation différentielle $(E) : y’ + 5y = 2$

1) Déterminer la forme générale des solutions de $(E)$.

2) Déterminer la solution $f$ qui vérifie $f(0) = 1$

Correction

1) On se ramène à la forme du cours :

$y’ + 5y = 2 \iff y’ = -5y + 2$.

D’après la propriété du cours appliquée à $a = -5$ et $b = 2$, on trouve que les solutions sont de la forme

$Ce^{-5x} + \dfrac{2}{5}$, avec $C$ une constante réelle.

2) On souhaite déterminer une solution particulière vérifiant une condition.

Soit $f$ la solution de l’équation différentielle $y’ +5y = 2$ vérifiant $f(0) = 1$,

Alors $f(0) = 1 \iff Ce^{-5\times 0} + \dfrac{2}{5} = 1 \iff C = 1 – \dfrac{2}{5} \iff C = \dfrac{3}{5}$

En remplaçant $C$ par sa valeur dans la forme générale des solutions on trouve

$f(x) = \dfrac{3}{5}e^{-5x} + \dfrac{2}{5}$.