Équations différentielles y’ = ay

Équations différentielles y’ = ay , avec a réel

Équations différentielles $y’ = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$

Propriété

Les solutions de l’équation différentielle $y’ = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle. 

Démonstration

On commence par démontrer que toute fonction de la forme $x \mapsto Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = Ce^{ax}$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que composée de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x) = ax$. Ainsi,

$f(x) = Ce^{u(x)}$.

On sait en outre que $\left ( e^u \right )’ = u’e^u$ pour toute fonction $u$.

Ainsi, $f'(x) = C \times ae^{ax}$, car la dérivée de $u(x) = ax$ est $u'(x) = a$.

Finalement,

$f'(x) = a \times Ce^{ax} = a \times f(x)$.

On vient donc de montrer que $f$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$.

La deuxième partie de la démonstration consiste à montrer que toute solution de l’équation différentielle $y’ = ay$ s’écrit sous la forme $x \mapsto Ce^{ax}$.

On propose pour cette seconde partie deux démonstrations et on laissera au lecteur le soin de choisir celle qu’il préfèrera. 

Première démonstration possible

Soit $f$ une fonction non nulle, solution de l’équation différentielle $y’ = ay$ (si $f$ est nulle, $f$ est de la forme attendu en prenant $C = 0$),
alors $f'(x) = a f(x)$ que l’on réécrit $\dfrac{f'(x)}{f(x)} = a$.

On intègre alors cette relation.

Une primitive de $a$ est $ax + b$ où $b$ est une constante.

Une primitive de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ est $\ln \left | f(x) \right |$.

L’équation se réécrit alors

$\ln \left | f(x) \right | = ax + b$.

En appliquant à cette nouvelle équation la fonction exponentielle on obtient l’égalité suivante :

$|f(x)| = e^{ax+b}= e^b \times e^{ax}$.

Comme l’exponentielle est toujours positive, on peut écrire :

$f(x) = \pm e^b \times e^{ax}$.

En posant $C = \pm e^b$ on a alors

$f(x) = Ce^{ax}$, c’est ce que l’on voulait démontrer.

Deuxième démonstration possible

Soit $f$ une fonction solution de l’équation $y’ = ay$.

On pose pour tout $x \in \mathbb{R} \;h(x) = e^{-ax}f(x)$.

$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$,

$h'(x) = -ae^{-ax}f(x) + e^{ax}f'(x)$.

Or comme $f$ est solution de l’équation différentielle $y’ = ay$ on a $f'(x) = af(x)$.

Ainsi, $h'(x) = -ae^{-ax}f(x) + e^{ax}(af(x)) =0$.

Ainsi il existe $C \in \mathbb{R}$ telle que $h(x) = C$.

Finalement, $e^{-ax}f(x) = C$ c’est à dire $f(x) = Ce^{ax}$, c’est à dire ce que l’on souhaitait démontrer.

Exercice type

On considère l’équation différentielle $2y’ – 3y = 0$.

1) Déterminer la forme générale des solutions de l’équation

2) Représenter à l’aide de la calculatrice quelques courbes des fonctions  solutions

3) Déterminer l’unique solution $f$ telle que $f(1) = 2$

Correction 

1) La première étape consiste à se ramener à une équation de la forme $y’ = ay$ avec $a$ un réel que l’on déterminera.

$2y’ – 3y = 0 \iff 2y’ = 3y \iff y’ = \dfrac{3}{2}y$.

Ainsi, $a = \dfrac{3}{2}$ et les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{\frac{3}{2}x}$ avec $C$ une constante réelle.

2) On donne ici quelques courbes de différentes fonctions solutions pour lesquelles on a choisit des valeurs quelconques de $C$. 

3) On cherche dans cette question la solution particulière vérifiant $f(1) = 2$.

Comme $f$ est solution de l’équation différentielle, elle est de la forme

$f(x) = Ce^{\frac{3}{2}x}$ avec $C$ une constante réelle que l’on va déterminer.

En effet,

$f(1) = 2 \iff Ce^{\frac{3}{2}\times 1} = 2 \iff C = 2 e^{-\frac{3}{2}}$.

Finalement, en remplaçant dans l’expression

$f(x) = 2 e^{-\frac{3}{2}} \times e^{\frac{3}{2}x}$

En conclusion, on a :

$f(x) = 2 e^{\frac{3}{2} (x – 1)}$.