Équation cartésienne d'un plan
Équation cartésienne d'un plan
Equation cartésienne d’un plan
Définition
Soient a,b,c et d quatre réels avec a,b et c tous nuls.
P:ax+by+cz+d=0 est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.
Propriété
Tout plan P d’équation ax+by+cz+d=0 admet un vecteur normal non nul →n(a;b;c).
La réciproque est vraie.
Exemples
1) Déterminer l’équation cartésienne du plan P passant par A(4;0;−1) et normal à →n(2;−1;3).
2) Soit P:2x−4y+6z−9=0.
Déterminer un vecteur →n normal à P et un point A du plan
Correction
- 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur →n.
On a: P:2x−y+3z+d=0.
- Etape 2 : On sait que A∈P, on remplace x,y et z par les coordonnées du point A appartenant au plan.
2(4)−0+3(−1)+d=0
- Etape 3 : On en déduit la valeur de d et ainsi l’équation cartésienne du plan P.
d=−5
On conclut que: P:2x−y+3z−5=0.
- 2) Etape 1 : On définit un vecteur →n normal à P à partir des coefficients de x,y et z de l’équation cartésienne.
→n(2;−4;6) ou encore →n′(1;−2;3) sont deux vecteurs normaux.
- Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point A appartienne au plan.
On pose : x=1 et y=2 , avec A∈P, on remplace : 2−8+6z−9=0. z=156=52
On a alors : A(1;2;52)
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 1
Déterminons l’équation cartésienne du plan P passant par A(4,0,−1) et normal à →n(2,−1,3).
- Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur →n.
- Etape 2 : On remplace x,y et z par les coordonnées du point A appartenant au plan.
- Etape 3 : On en déduit la valeur de d et ainsi l’équation cartésienne du plan P.
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 2
Soit P:2X–4y+6z−9=0.
Déterminons un vecteur →n normal à P et un point A du plan.
- Étape 1 : On définit un vecteur →n normal à P à partir des coefficients de x,y et z de l’équation cartésienne.
- Étape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point A appartienne au plan.
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3A
Déterminons l’intersection des plans P:x–2y+z–1=0 et Q:2x–3y–z+4=0.
- Étape 1 : On définit des vecteurs →n et →n′ normaux à P et Q à partir des coefficients x,y,z de chaque équation cartésienne.
- Étape 2 : On vérifie s’il y a proportionnalité entre les deux vecteurs.
Équation cartésienne d'un plan - Exercice 3B
Déterminons l’intersection des plans P:x–2y+z–1=0 et Q:2x–3y–z+4=0.
- Étape 1 : On pose le système de 2 équations à 3 inconnues.
- Étape 2 : On additionne la ligne 1 et la ligne 2.
- Étape 3 : On décide d’utiliser y comme paramètre.
- Étape 4 : On exprime x puis z en fonction de ce paramètre.
- Étape 5 : On reconnaît les coordonnées du vecteur directeur de la droite recherchée à partir des coefficients associées au paramètre t.
