Égalité – Identité – Équation

Égalité - Identité - Équation

Egalité – Identité – Equation

1) Egalité

On se contente de donner un exemple d’égalité : $8 = 8$. 

2) Identité

Une identité s’exprime à l’aide d’une égalité et fait intervenir une ou plusieurs variables.

Exemples:

Pour $a$ et $b$ réels ($a$ et $b$ sont des variables),

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Il s’agit d’une identité car l’égalité est vérifiée quelque soit les valeurs prises par les variables dans l’ensemble considéré, ici l’ensemble des réels. 

Pour tout $x$ réel ($\forall x \in \mathbb{R}$), $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. 

Il s’agit d’une égalité contenant un variable : il s’agit donc d’une identité car pour toute valeur réelle, l’égalité est vérifiée.

3) Equation à une variable

Une équation est une égalité contenant une variable. Cependant, cette égalité n’a lieu que pour certaines valeurs de la variable.

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $3x + 5 = 2x + 1$.

Toutes les valeurs de $x$ ne sont pas solutions.

En effet, si $x = 0$ alors $3x + 5 = 3 \times 0 + 5 = 5$ et $2x + 1 = 2\times 0 + 1 = 1$.

Or $5 \neq 1$ donc $0$ n’est pas solution de l’équation. 

On cherche donc la valeur de la variable $x$ réelle pour laquelle l’égalité est vérifiée. 

$x$ est alors appelée l’inconnue.

$\begin{aligned} 3x + 5 = 2x + 1 &\iff &  3x – 2x = 1 – 5 \\ &=& x = -4 \end{aligned}$

Ainsi $-4$ est la solution de l’équation. On peut aussi parler de racine de l’équation.

4) Equation paramétrique

On souhaite déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ tel que l’équation $mx + 2m – 5 = 0$ admette 1 pour solution. 

$x$ est l’inconnue et $m$ est le paramètre.

Ainsi, pour chaque valeur de $m$ est associée une équation différente en $x$.

Par exemple, si $m = 0$, on obtient l’équation $-5 = 0$ qui ne possède pas de solution. On note donc $S = \varnothing$.

Si $m = 1$, l’équation devient $x + 2 – 5 = 0$ c’est à dire $x – 3 = 0$ qui a pour solution $x = 3$. On note alors $S = \{3\}$.

Il existe donc une infinité d’équations associées au paramètre $m$

La question de l’exercice est ainsi de déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que l’équation en $x$ admette $1$ pour solution.

Ainsi $1$ est solution si et seulement si en remplaçant $x$ par $1$ l’égalité est vérifiée ou encore si et seulement si $m + 2m – 5 = 0$ ou encore si et seulement si $m = \dfrac{5}{3}$. 

Ainsi, lorsque $m = \dfrac{5}{3}$, l’équation s’écrit $\dfrac{5}{3}x – \dfrac{10}{3} – 5 = 0$,

c’est à dire $\dfrac{5}{3}x – \dfrac{5}{3} = 0$ que l’on réécrit $\dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{3}$ soit $x = 1$. 

On a donc trouvé la valeur du paramètre $m$ tel que l’équation en $x$ possède $1$ pour solution.