Distance d'un point à un plan / à une droite
Distance d'un point à un plan / à une droite
Ces notions ne sont pas exigibles au programme :
– Soient le plan P d’équation ax+by+cz+d=0 et un point A(xA;yA;zA).
La distance du point au plan se calcule par :
D(A,P)=AH=|axA+byA+czA+d|√a2+b2+c2
– La distance du point A à une droite Δ est la distance AH telle que :
{H∈Δ→AH.→u=0
→u étant une vecteur directeur de la droiteΔ
Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 1
Soit Δ{x=2t–1y=t+6z=3t+3 avec t∈R.
Soit M(0,1,2).
Calculer la distance entre le point et la droite.
Étape 1 : On remplace x,y et z par les coordonnées du point M. Si le nombre t est unique, alors M appartient à la droite.
Étape 2 : On définit un point H tel que H appartient à Δ et →MH.→u=0.
Étape 3 : On définit un vecteur →u de Δ à partir des coefficients de t.
Étape 4 : On définit et on résout le système d’équations vérifiant les 2 conditions du point H.
Étape 5 : Grâce à la valeur de t, on peut définir les coordonnées du point H.
Etape 6 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur MH à partir des coordonnées de M et de H :
Distance d'un point à un plan / à une droite - Exercice 2
Soient P:−x+2y+3z+2=0 et A(2,0,1).
Cherchons la distance du point au plan.
Étape 1 : On regarde si le point appartient au plan en remplaçant x,y et z par les coordonnées du point A.
Étape 2 : On applique la formule du cours avec les valeurs des coefficients de l’équation du plan et des coordonnées de A.
