Développer et factoriser : double distributivité

Développer et factoriser (a+b) (c+d)

Développer et factoriser $(a + b)(c + d)$

I) Rappel

Pour ce chapitre, il est bon de se souvenir de la distributivité simple :

$k(a + b) = ka + kb$. 

Exemples : 

$3(x+5)=3x+15$

$-4(x-2)=-4x+8$

II) Développer

On chercher à développer $(a + b)(c + d)$, ce qui revient d’abord à développer $a$ avec $(c+d)$ puis développer $b$ avec $(c+d)$ .

Ainsi,

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemples : 

$(3 + x)(x + 2) = 3\times x + 3 \times 2 + x \times x + x \times 2$

$(3 + x)(x + 2)= 3x + 6 +x^2 + 2x$

$(3 + x)(x + 2)= x^2 + 5x + 6$

On pourra remarquer que le résultat est ordonné. C’est à dire que l’on commence par écrire les termes en $x^2$ puis les termes en $x$ puis les termes sans $x$, en aillant regrouper au préalable les termes. 

$A=(3 – x)(x – 5)$ 

Pour effectuer ce calcul, il faut se souvenir de la règles des signes.

$(3 – x)(x – 5) = 3\times x + 3 \times (-5) + (-x) \times x + (-x) \times (-5)$

$(3 – x)(x – 5) = 3x -15 – x^2 + 5x$

$(3 – x)(x – 5) = – x^2 + 8x – 15$

III) Factoriser

factoriser une expression revient à l’écrire sous la forme d’un produit (le résultat d’une mutiplication).

Lorsque l’on reconnait un facteur commun dans une somme de termes, on peut le factoriser.

Exemples

$B=5(x + 2) + 7(x + 2)$

Le facteur commun est ici $(x + 2)$.

On met donc $(x +2)$ en facteur, en ne l’écrivant qu’une fois, puis dans le second facteur on recopie les facteur qui multipliait $(x + 2)$ ainsi que le signe entre les deux termes.

Ainsi,

$5(x + 2) + 7(x + 2) = (x + 2)( 5 + 7)$

$5(x + 2) + 7(x + 2) = 12(x + 2)$

$C=5(3 – x) – (3 – x)y = (3 -x)(5 – y)$.

L’erreur fréquente est ici d’oublier de recopier le signe $-$.