Déterminer un seuil : ln(qn)=nlnqln(qn)=nlnqln(q^n)=n lnq

Utiliser la relation $lnq^n = nlnq$

Utiliser la relation $\ln q^n = n \ln q$

On propose ici de montrer un exemple d’application de la relation $\ln q^n = n \ln q$ pour tout réel $q > 0$ et pour tout entier naturel $n$.

Rappels

Pour $0 < a < 1$, $\ln a < 0$

Pour $a > 1$, $\ln a > 0$

Exemple : 

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que :

$1 – (0.4)^n \geq 0.99$.

La première étape consiste à isoler la puissance de $n$ : il ne faut pas appliquer précipitamment la fonction logarithme.

Soit $n \in \mathbb{N}$,

$1 – (0.4)^n \geq 0.99$

$\iff -(0.4)^n \geq -0.01$

$\iff 0.4^n \leq 0.01$ car on multiplie par $-1 < 0$

$\iff \ln(0.4^n) \leq \ln(0.01)$ car $x\mapsto \ln x$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$, donc le sens de l’inégalité demeure inchangé.

$\iff n \ln 0.4 \leq \ln 0.01$ (On applique ici la relation)

$\iff n \geq \dfrac{\ln 0.01}{\ln 0.4}$ car $\ln 0.4 < 0$ puisque $0.4 < 1$

Or $\dfrac{\ln 0.01}{\ln 0.4} \approx 5,026$. En outre, $n$ est un entier naturel donc on cherche le premier entier plus grand que $5,026$ c’est à dire $6$.

Ainsi, $1 – (0.4)^n \geq 0.99 \iff n \geq 6$