Exponentielle - Croissances comparées
Exponentielle - Croissances comparées
Croissances comparées
Pour n appartenant à N :
1. limx→+∞exx=+∞ ; limx→+∞exxn=+∞
2. limx→−∞xex=0 ; limx→−∞xnex=0
A savoir aussi :
3. limx→0ex−1x=1
Exercice 1
Calculer : limx→+∞x3−ex.
Corrigé
- étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
Il y en a une de la forme ∞−∞. - étape 2 : On factorise par ex le numérateur et le dénominateur.
limx→+∞ex(x3ex−1) - étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
On sait que limx→+∞exx3=+∞.
Donc limx→+∞x3ex=limx→+∞1exx3=0.
Le terme entre parenthèses tend donc vers −1.
- étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
limx→+∞x3−ex=−∞
Exercice 2
Calculer : limx→+∞ex−x2ex+3.
Corrigé
- étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
Il y en a au moins une au numérateur (de la forme ∞−∞).
- étape 2 : On factorise par ex le numérateur et le dénominateur.
limx→+∞ex−x2ex+3=limx→+∞ex(1−xex)ex(2+3ex)=limx→+∞1−xex2+3ex
- étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
limx→+∞xex=0 et limx→+∞3ex=0
- étape 4 : le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers 2. On conclut donc :
limx→+∞ex−x2ex+3=12
Fonctions composées - exp(u(x))
Fonctions composées
Soit u(x) une fonction continue et dérivable sur R, la fonction f(x)=eu(x) a pour dérivée
f′(x)=u′(x)eu(x).
Exemple
Soit g la fonction définie et dérivable sur R par :
g(x)=e(−3x2+x).
Déterminons sa dérivée.
On pose : u(x)=−3x2+x.
On a donc : u′(x)=−6x+1.
On a : g′(x)=u′(x)eu(x).
Soit : g′(x)=(−6x+1)e(−3x2+x).
Autre exemple
Etudier les variations de la fonction f(x)= 3exe2x+1.
étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.
Df=R car e2x ne peut être égal à −1, c’est toujours positif.
étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’ensemble de définition : en +∞ et en −∞.
On factorise par ex et on simplifie pour lever l’indétermination.
limx→+∞f(x)=limx→+∞ex×3ex(ex+1ex)=limx→+∞3ex+1ex=0 car
limx→+∞ex+1ex=+∞
limx→−∞f(x)=limx→−∞3ex+1ex=0 car
limx→−∞ex+1ex=+∞
étape 3 : On dérive f comme quotient de fonctions dérivables sur R.
On utilise la formule suivante :
(uv)′=u′v−uv′v2.
u(x)=3ex,u′(x)=3exetv(x)=e2x+1,v′(x)=2e2x
f′(x)=3ex(e2x+1)−3ex(2e2x)(e2x+1)2
f′(x)=3ex(1−e2x)(e2x+1)2
On remarque que (1−e2x) est une égalité remarquable égale à (1−ex)(1+ex).
Le signe de f′(x) est du signe de (1−ex)(1+ex) donc de (1−ex).
On a :
(1−ex)≥0⟺1≥ex⟺0≥x
On en déduit le tableau de variations :
Fonctions composées - exp(u(x)) - Exercice
Exercice
Étudions la fonction f(x)=3exe2x+1.
Étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.
Étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’intervalle : en +∞ et en −∞.
Étape 3 : On factorise pour lever l’indétermination.
Étape 4 : On utilise ici que limx→−∞ex=0.
Étape 5 : On utilise la formule (uv)′=u′v–uv′v2 pour étudier les variations.
