Dérivées de fonctions trigonométriques

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

Propriétés

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(ax+b))’=-a\sin(ax+b)$

$(\sin(ax+b))’=a\cos(ax+b)$

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $x\in \mathbb{R},$

$(\cos(x))’=-\sin(x)$

$(\sin(x))’=\cos(x)$

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ 

2) $g(x) = \dfrac{\sin(3-2x)}{2}$ sur $\mathbb{R}$

3) $k(x)= \sin(x)\cos(x)$ sur $\mathbb{R}$

Correction

1) $f$ est dérivable sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ avec $\cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=\sin(x)$ et $v(x)=\cos(x)$ de sorte que $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=\cos(x)$ et $v'(x)=-\sin(x)$  et pour tout $x\in \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$ : 

$f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$

2) Pour $x\in\mathbb{R}$ :

$g'(x)  = -2\cos(3-2x)\times \dfrac12$

soit $g'(x)  = -\cos(3-2x)$

3) $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=\sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.

Ainsi, pour $x\in\mathbb{R}$ :

$k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$k'(x)=-\sin^2(x)+\cos^2(x)$

$k'(x)= 2\cos^2(x)-1$

$k'(x)=\cos(2x)$