Opérations et dérivées
Opérations et dérivées
Opérations et dérivées
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur I.
1) Dérivée d’une somme
La dérivée d’une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chaque fonction : c’est à dire
(u+v)′=u′+v′.
Par exemple f(x)=x2+1x.
Il faut dans un premier temps chercher le domaine de définition et l’ensemble de dérivabilité.
La fonction u(x)=x2 est définie et dérivable sur R et la fonction v(x)=1x est définie et dérivable sur R∗.
Ainsi, la fonction f est définie et dérivable sur R∗.
Pour x∈R∗, f′(x)=2x+−1x2.
2) Dérivée du produit d’une fonction par un réel k
La formule est la suivante : (ku)′=k×u′ avec k∈R.
Exemple, on souhaite déterminer la dérivée de f(x)=−2x2.
La fonction f est définie et dérivable sur R ainsi:
pour tout réel x, f′(x)=−2×(2x)=−4x.
3) Dérivée de l’inverse d’une fonction
La formule est (1v)′=−v′v2 pour tout x∈I et il faudra veiller à ce que v(x)≠0.
Exemple, considérons la fonction f(x)=1x+1.
f est définie et dérivable sur R∖{−1}:
Pour tout réel x différent de −1, f′(x)=−1(x+1)2.
4) Dérivée du produit de deux fonctions
La dérivée d’un produit est donnée par la formule suivante :
(uv)′=uv′+u′v.
Exemple : Soit f(x)=(3x+1)×√x,
la fonction x↦3x+1 est définie et dérivable sur R
La fonction x↦√x est définie sur R+ et dérivable sur R∗+.
Ainsi, f est définie sur R+ et dérivable sur R∗+.
Pour tout x∈R∗+, f′(x)=3×√x+(3x+1)×12√x.
5) Dérivée du quotient de deux fonctions
La dérivée d’un quotient est (uv)′=u′v–uv′v2. La fonction v ne s’annulant pas.
Exemple : Soit f(x)=2x+1x–4 définie et dérivable sur R∖{4},
Pour tout x différent de 4,
f′(x)=2(x–4)–(2x+1)×1(x–4)2.
f′(x)=−9(x–4)2.
