Définition, propriétés

Fonctions exponentielles - Propriétés analytiques

Propriétés analytiques

La fonction $e^x$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$, $(e^x)’= e^x$ et $e^0=1$:

On a aussi : 

$e^x>0$

$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$

$\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} e^x= +\infty$

$e^1 =e \approx 2,71$

La fonction exponentielle a une dérivée strictement positive donc elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Représentation graphique de la fonction exponentielle

Fonction exponentielle : propriétés algébriques

La fonction exponentielle, propriétés algébriques.

Définition

La fonction $f(x)=exp(x)$ est l’unique fonction définie par :

$f'(x) = f(x)$

$f(0) = 1$

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

On la note : $exp(x)$= $e^x$

Propriétés algébriques :

Pour tous réels $x$ et $y$

• $e^{x+y}=e^x \times e^y$

• $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$

• $e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$

• $(e^x)^n=e^{nx}$ avec n appartenant à $\mathbb{Z}$

• Pour tout réel $x$, $\ln e^x=x$

• Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln x}=x$