Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle 

Définition

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a

$\left \{ \begin{array}{l} f'(x) = f(x) \\ f(0) = 1 \\ \end{array} \right.$

Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, et est égale à sa dérivée.

On note cette fonction $f(x) = \exp(x)$. 
Ainsi, $f'(x) = \exp(x)$. 

Propriétés

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) > 0$.

On sait aussi que $\exp(0) = 1$ donc $f'(0) = 1$.

Cela permet donc d’écrire l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ :

$T_0 : y = f'(0)(x – 0) + f(0) = x + 1$. 

Application à la dérivation

Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = x \exp(x)$. 

On pose $u(x) = x$ et $v(x) = \exp(x)$. 

On a alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = v(x) = \exp(x)$.

Ainsi, $f'(x) = u'(x)\times v(x) + u(x) \times v'(x)$. 

Donc $f'(x) = 1 \times \exp(x) + x \times \exp(x) = (x + 1) \exp(x)$. 

On préfèrera écrire la dérivée sous la forme d’un produit, pour faciliter le calcul de son signe. 

Propriété 

Soient $a$ et $b$ deux réels,

Si $f(x) = \exp(ax + b)$ alors $f'(x) = a\exp(ax + b)$. 

Exemple :

Soit $f$ une fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) =  \exp(-x + 2)$. 

On applique la propriété précédente avec $a = -1$ et $b  = 2$. 

Ainsi, $f'(x) = -1 \exp(-x + 2) = -\exp(-x + 2)$