Croissances comparées

Théorème des croissances comparées

Théoréme des croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :

1. $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x \ln x = 0$    et    $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$

2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$    et    $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0.$

Exemple

Calculer $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x$.

étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ et on factorise par $x^3$.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x=\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3})$

étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l’indétermination.

On sait que: $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^3}= 0$.

Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3})=+\infty$

Nombre dérivé en 1

A savoir : $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=1$

Preuve :

On calcule $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}$.

étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître $\ln 1$ au numérateur et 1 au dénominateur.

On vérifie aisément que $h=1+h-1$.

$\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)-\ln 1}{1+h-1}$

étape 2 : On reconnaît la formule du nombre dérivé de la fonction $\ln$ en 1.

La fonction $\ln$ a pour dérivée la fonction $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ qui prend donc la valeur 1 lorsque $x=1$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)-\ln 1}{(1+h)-1}=\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac { \ln (1+h)}{h}=1.$