La continuité
La continuité
La continuité
Continuité en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R et a∈I, f est continue en a si et seulement si limx→af(x)=f(a).
La fonction f est définie en a, a admet donc une image par f qui est f(a). En outre, la limite de la fonction f lorsque x tend vers a doit s’approcher à droite et à gauche de f(a).
Dans certains exercices, il faudra calculer la limite à droite et la limite à gauche de la fonction puis vérifier que ces deux limites valent f(a).
Lorsque l’on trace une fonction f continue sur intervalle I, on le fait sans lever le crayon. Il s’agit d’un moyen de se représenter la continuité mais cela ne constitue en rien une définition rigoureuse de cette dernière.
Continuité sur un intervalle
f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en chaque réel a de I.
Les fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, logarithmes, exponentielles sont continues sur leur domaine de définition.
La continuité - Fonction partie entière
Étudier la continuité de la fonction E(x), partie entière de x sur R.
Ce qu’il faut savoir faire :
- Étape 1 : Graphiquement on voit que la fonction n’est pas continue.
- Étape 2 : Mathématiquement, les limites à gauche et à droite ne sont pas les mêmes, donc la fonction n’est pas continue.
