Composée de deux fonctions

Composée de deux fonctions

Composée de deux fonctions 

I) Définition 

Afin d’aborder la notion de composée de fonctions, on donne un exemple de composée.

Exemple :

Soient $u : x \mapsto x^2$ et $v : x \mapsto 2x  +3$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$,

La composée de $u$ par $v$ revient à appliquer à l’image de $x$ par $u$ la fonction $v$ :

$u : x \mapsto x^2 \mapsto v(x^2) = 2x^2 + 3$.

La fonction permettant de passer de $x$ à $2x^2 + 3$ est la fonction $v \circ u$, que l’on nomme $v$ rond $u$. 

Définition :

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$.

On suppose que pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$.

On définit la fonction $v \circ u$ sur $I$ par :$v \circ u(x) = v[u(x)]$ pour tout $x \in I$.

On remarque ici que $u(x)$ doit appartenir à l’intervalle de définition de $v$ sans quoi $v[u(x)]$ ne peut être calculé.

Remarque :

Dans le cas général, $v \circ u \neq u \circ v$.

En effet, on reprend les fonctions $u$ et $v$ de l’exemple précédent.

On sait que $v \circ u(x) = 2x^2 + 3$.

En outre, $u \circ v(x) = (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

Il est aussi possible de décomposer une fonction comme composée de deux fonctions plus simples à étudier.

Exemple :

Soit $f : x \mapsto \sin(3x + 7)$,

On pose alors $u : x \mapsto 3x + 7$ et $v 😡 \mapsto \sin(x)$, alors $f = v \circ u$.

2) Sens de variation 

• Si $u$ est croissante sur $I$ et $v$ croissante sur $J$ alors $v \circ u$ est croissante sur $I$.
• Si $u$ est décroissante sur $I$ et $v$ décroissante sur $J$ alors $v \circ u$ est croissante sur $I$.
• Si $u$ est décroissante sur $I$ et $v$ croissante sur $J$ alors $v \circ u$ est décroissante sur $I$.
• Si $u$ est croissante sur $I$ et $v$ décroissante sur $J$ alors $v \circ u$ est décroissante sur $I$.

On retrouve ici la règle du signe du produit de deux nombres réels :
Le produit d’un nombre réel positif par un nombre réel négatif est négatif.

Démonstration :

On choisit arbitrairement de démonter la deuxième propriété. Soient $(a, b) \in I^2$ tels que $a < b$.

Par décroissance de la fonction $u$ on a $u(a) > u(b)$.

Par décroissance de la fonction $v$ on obtient $v[u(a)] < v[u(b)]$

Ainsi, $v\circ u (a) < v \circ u (b)$.

$v \circ u$ est donc croissante. 

3) Dérivation de fonctions composées

Théorème :

Si $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$, $v$ dérivable sur l’intervalle $J$, et si pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$ alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et :

$(v \circ u)’ = (v’ \circ u) \times u’$.

• Corollaire : 

Soit $n \in \mathbb{N}$,

Si $u$ est dérivable sur $I$, alors $u^n$ est dérivable sur $I$ et $(u^n)’ = nu^{n-1}u’$

Exemple :

Soit $f:x \mapsto (4x^2 + 5x + 3)^7$,

On pose $u : x \mapsto 4x^2 + 5x + 3$ et $v : x \mapsto x^7$.

$u$ et $v$ sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ en tant que fonctions polynomiales, donc $f = v\circ u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. 

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$u'(x) = 8x + 5$ et $v'(x) = 7x^6$.

Alors $f'(x) = 7(4x^2 + 5x + 3)^6\times (8x +5)$

• Corollaire :

Si $u$ est dérivable sur $I$ alors $\sin(u)$, $\cos(u)$ et $e^u$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et on a

$(\sin(u))’=u’\cos(u)$, $(\cos(u))’=-u’\sin(u)$ et $(e^u)’ = u’e^u$

Exemple :

Soit $f : x \mapsto e^{3x^2 + 7x + 1}$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

On pose $v : x \mapsto e^x$ et $u : x \mapsto 3x^2 + 7x + 1$.

$u$ et $v$ sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.

Donc $f = v \circ u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Ainsi, soit $x \in \mathbb{R}$, 

$v'(x) =e^x$ et $u'(x) = 6x + 7$.

Donc, $f'(x) = e^{3x^2+7x+1}\times (6x + 7)$

• Corollaire :

Si $u$ est dérivable sur $I$ et est strictement positive sur $I$, alors $\ln(u)$ et $\sqrt{u}$ sont dérivables sur $I$ et

$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$ et $(\sqrt{u})’= \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$

Exemple :

Soit $f:x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

On pose $u : x \mapsto x^2 + 1$ et $v : x \mapsto \sqrt{x}$.

$u$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

$v$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$.

Or pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt{x^2 +1 } > 0$.

Donc, comme $f = v \circ u$, alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}}\times u'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$