Coefficients binomiaux - Définition
Coefficients binomiaux - Définition
Coefficients binomiaux
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n (le nombre de répétitions) et p (la probabilité du succès).
Soit k un entier tel que 0≤k≤n.
Le coefficient binomial noté (nk), que l’on lit k parmi n, est égal au nombre de chemins conduisant à k succès “S” dans l’arbre pondéré représentant le schéma de Bernoulli.
Exemple :
Considérons n=3 et k=2. (0≤k≤3)
On cherche à calculer 2 parmi 3, c’est à dire (32).
On doit donc compter le nombre de chemins contenant 2 succès : il y a 3 chemins.
Ainsi (32)=3.
De même, (31)=3.
Ou encore (30)=1 car il n’y a qu’un chemin avec 0 succès (et donc 3 échecs).
Coefficients binomiaux - Propriétés
Coefficients binomiaux – Propriétés
Propriétés :
1) Pour tout n∈N,
(n0)=1 car cela correspond au chemin où il n’y a que des échecs, et il n’y en a qu’un seul.
(nn)=1 car cela correspond au chemin où il n’y a que des succès, et il n’y en a qu’un seul.
(n1)=n
2) Pour tout n∈N et 0≤k≤n
(nn–k)=(nk), c’est une propriété de symétrie.
3) Pour tout n∈N et 0≤k≤n
(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)
Exemples :
Calculons (65) qui est égal à (66–5)=(61)=6
Calculons (42) qui est égal à (3+11+1).
On applique alors la propriété 3) avec k=1 et n=3, (65)=(31)+(31)=3+(2+11+1) (en appliquant les propriétés 1) =3+(21)+(22)=3+2+1 (en appliquant les propriétés 1) =6
La calculatrice permet de calculer directement les coefficients binomiaux.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal
Le triangle de Pascal permet de trouver les valeurs de k parmi n, c’est à dire les coefficients binomiaux.
La première ligne contient les valeurs de k alors que la première colonne contient les valeurs de n.
La première colonne (k=0) se remplit à partir de la formule (n0)=1
La diagonale (k=n) se remplit à l’aide de la formule (nn)=1.
La deuxième colonne (k=1) se remplit à l’exception de la première case (car k doit être inférieur à n) à l’aide de la formule (n1)=n.
Ainsi, par exemple la troisième ligne (n=2) vaut (21)=2.
Comme k doit être inférieur à n, on ne peut remplir que la partie inférieure du tableau : il apparait alors un triangle.
Pour remplir le reste du tableau, on utilise la formule suivante
(nk)+(nk+1)=(n+1k+1).
Cette dernière se traduit par le fait qu’une case correspond à la somme du coefficient de la case du dessus et du coefficient de la case à gauche de cette dernière.
Ainsi, par exemple (32)=(22)+(21)=1+2=3
On obtient alors le tableau suivant :
On retrouve la propriété de symétrie des coefficients :
(nn–k)=(nk).
