Caractérisation des nombres complexes

1
Nombres complexes et vecteurs
2
Complexes et ensembles de points - Exercice 1
3
Complexes et ensembles de points : exercice 2
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Complexes et ensembles de points : Exercice 3
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Caractérisation de nombres complexes

Nombres complexes et vecteurs

Distances et vecteurs

On considére deux points $A$ ( $z_A$ ) et $B$ ( $z_B$ ) du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ .

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

$z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$ .

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$ .

Il en résulte donc que la distance $AB$ vaut :

$AB=|z_B-z_A|$ .

Angles et arguments

Soient $A(z_A)$ , $B(z_B)$ , $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points du plan complexe $\left(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ .

On a les résultats suivants :

$\boxed{ arg(z_B-z_A)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}) ~ [2\pi]}$

$\boxed{ arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]}$

Exemple

On donne les quatre points suivants :

$A(0,0)$ , $B(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12)$ , $C(\dfrac12,-\dfrac12)$ et $D(1,-\dfrac12)$ .

Calculer une mesure de l’angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})$ .

On commence par donner l’affixe des quatre points :

$z_A=0$
$z_B=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i$
$z_C=\dfrac12-\dfrac12 i$
$z_D=1-\dfrac12 i$

On a alors :

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{(1-\dfrac12 i)-(\dfrac12-\dfrac12 i)}{(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i)-(0)}$

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\dfrac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12 i}$ .

En simplifiant par $2$ puis en multipliant par la quantité conjuguée, on a :

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=\dfrac{\sqrt3-i}{4}$

$\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{1}{2}\times \left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right)$

En utilisant les méthodes précédentes, on montre facilement que :

$arg\left( \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12 i\right) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi]$ .

On trouve donc :

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = -\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi]$ .

Conclusion :

Comme

$arg\bigg(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\bigg) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) ~ [2\pi]$ ,

on a donc :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=-\dfrac{\pi}{6} ~ [2\pi]$

Complexes et ensembles de points - Exercice 1

Exercice

Déterminons l’ensemble des points $M(z)$ du plan vérifiant $\left|z – 2i \right| = 3$ .

Étape 1 : On pose le point $A$ d’affixe $2i$ .

Étape 2 : On reconnait le module de l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AM}$ qui est aussi la longueur $AM$ .

Étape 3 : L’ensemble des points recherché se situe sur un cercle de centre $A$ et de rayon 3.

Complexes et ensembles de points : exercice 2

Exercice

Déterminons l’ensemble des points $M(z)$ du plan vérifiant $\left|z + 3i + 1 \right| = \left|iz – 3i \right|$ .

Étape 1 : On modifie l’expression de sorte à faire apparaître une forme du type $\left|z_A – z_B\right|$ .

Étape 2 : On pose le point $B$ d’affixe $-3i – 1$ tel que nous venons de le définir.

Étape 3 : On déduit de cette expression qu’il s’agit de la longueur $MB$ .

Étape 4 : On factorise la deuxième expression par $i$ .

Étape 5 : On sait que le module d’un produit est le produit des modules.

Étape 6 : On pose le point $A$ d’affixe 3. Et on en déduit que l’expression correspond à la longueur $MA$ .

Étape 7 : L’ensemble des points se trouve donc sur la médiatrice de $[AB]$ que nous pouvons tracer.

Complexes et ensembles de points : Exercice 3

Exercice

Déterminons l’ensemble des points $M(z)$ du plan vérifiant $arg(z – 2i) = \frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

Étape 1 : On sait que $arg(z_B – z_A) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}) [2\pi]$ .

Étape 2 : On pose le point $C$ d’affixe $2i$ .

Étape 3 : On en déduit d’après le cours que l’angle formé entre les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{CM}$ vaut $\frac{\pi}{3}$ .

Étape 4 : On n’oublie pas qu’un angle de $\frac{\pi}{3}$ est égal à $60^o$ (soit $\frac{180^o}{3}$ ).

Étape 5 : On conclut en disant que l’ensemble des solutions est la demi droite $Cx$ avec $C$ exclu.

Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$ .

Exemple

$2i$ est imaginaire pur,
$3$ est réel
$3+2i$ n’est ni réel, ni imaginaire pur.

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $\boxed{z\in \mathbb{R} \Leftrightarrow Im(z)=0}$ .

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $\boxed{z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow Re(z)=0}$ .

Caractérisation avec l’argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

$\bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

$\bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ .

Illustration graphique

L’affixe du point $M$ est un réel négatif, tandis que l’affixe du point $N$ est imaginaire pur.

le point $A$ a un affixe réel égal à $1$ .