Bernoulli et loi binomiale

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Schéma de Bernoulli et loi binomiale
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Expérience et loi de Bernoulli
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Formules de la loi binomiale
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Loi binomiale - Schéma

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ la répétition de $n$ expériences de Bernoulli de paramètre $p$ , les répétitions étant indépendantes.

Exemple

On lance 2 fois un dé : on répète deux fois la même expérience qui consiste à lancer le dé.

On appelle ici succès (noté $S$ )le fait d’obtenir 1 lors d’un lancé.

Ainsi la probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$ et celle de l’échec $\dfrac{5}{6}$ .

C’est donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 2$ et $p = \dfrac{1}{6}$ .

Un schéma de Bernoulli se représente toujours par un arbre.

On définit à partir d’un schéma de Bernoulli une loi binomiale.

Loi binomiale

On réalise un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ .

On définit une variable aléatoire en posant $X$ qui compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

$X$ varie de 0 (c’est à dire 0 succès) à $n$ (c’est à dire uniquement des succès).

La loi de probabilité de $X$ s’appelle la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

Elle est notée $\mathcal{B}(n;p)$

Exemple

Reprenons l’exemple précédent. Il s’agit d’une loi binomiale de paramètres $n = 2$ et $p = \dfrac{1}{6}$

$X$ suit donc la loi binomiale : $\mathcal{B}(2;\dfrac{1}{6})$

$X=$	$0$	$1$	$2$
Proba	$p(X=0)$	$p(X=1)$	$p(X=2)$

Expérience et loi de Bernoulli

Définition

Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire possédant deux issues possibles :

– le succès $S$ de probabilité $p$

– l’échec $\overline{S}$ de probabilité $1 – p$

Une expérience de Bernoulli peut se représenter par un arbre.

Exemple

On lance un dé équilibré.

On définit le succès $S$ comme étant l’issue “obtenir 6”.

L’échec $\overline{S}$ correspond donc au fait d’obtenir un autre nombre que 6.

La probabilité du succès $p$ vaut $\dfrac{1}{6}$ .

Loi de Bernoulli :

A partir d’une expérience de Bernoulli on peut définir une variable aléatoire $X$ en posant :
– $X = 1$ pour le succès
– $X = 0$ pour l’échec

On dira alors que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

On peut représenter les valeurs de $X$ dans un tableau avec leur probabilité associée.

Valeurs	$0$	$1$
probabilités	$1-p$	$p$

Espérance et écart-type

L’espérance de $X$ est $E(X) = p$ et son écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{p(1 – p)}$ .

Formules de la loi binomiale

On considère une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ , la probabilité du succès.

La variable aléatoire associée est $X$ et compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On notera alors que $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n; p)$ .

De plus, $X$ est compris entre 0 et $n$ .

Calculs de probabilités

La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès vaut :

$P(X = k) = \left ( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right ) p^k \ (1 – p)^{n – k}$ .

Espérance, écart-type

L’espérance d’une loi binomiale est $E(X) = n \times p$ et son écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ .

Exemple :
On lance un dé quatre fois. On cherche la probabilité d’obtenir trois fois le nombre 6.

On répète donc quatre fois de manière indépendante l’expérience de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac{1}{6}$ .

En effet, lors d’un lancé, la probabilité d’obtenir un 6 est $p = \dfrac{1}{6}$ .

On définit ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{1}{6}$ .

$X$ suit donc une loi $\mathcal{B} \left (4; \dfrac{1}{6} \right)$ .

Ainsi, on cherche à calculer $P(X = 3)$ .

En appliquant la formule,

$P(X = 3) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ \end{array} \right ) \left(\dfrac{1}{6} \right )^3 \left (1 – \dfrac{1}{6} \right )^{4 – 3}$

$P(X = 3) =4 \times \dfrac{1}{6^3} \times \dfrac{5}{6}$

$P(X = 3) =\dfrac{20}{6^4} \approx 0,015$

Ainsi, la probabilité d’obtenir trois fois le nombre 6 est de 0,015 soit 1,5%.

Loi binomiale - Schéma

Loi binomiale – Schéma

Considérons la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac{1}{6}$ .

Cela signifie que l’on répète trois fois l’expérience et que la probabilité du succès est $\dfrac{1}{6}$ .

Un arbre pondéré est utile pour représenter la loi binomiale.

La variable aléatoire associée à la loi binomiale est $X$ . Cette dernière permet de compter le nombre de succès.

En considérant le premier chemin par exemple, on rencontre trois fois la lettre $S$ : ainsi, $X = 3$ .

Ainsi, $X$ est compris entre 0 et 3.

L’arbre permet de calculer des probabilités.

Exemple

Calculons $P(X = 3)$ .

En regardant l’arbre, on remarque que cet événement n’a lieu qu’une fois.

Pour obtenir la probabilité associée, il faut alors multiplier entre elles les probabilités inscrites sur les branches parcourues;

$P(X = 3) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{216}$ .

Calculons de même $P(X = 1)$ . L’événement associé a lieu 3 fois.

Ainsi, $P(X = 1) =\left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} + \left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} +\left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6} =3 \times \left ( \dfrac{5}{6} \right )^2 \times \dfrac{1}{6}$ .

Il existe une formule qui permet de simplifier ce calcul. Les calculatrices permettent aussi ces calculs