Les suites géométriques
Les suites géométriques
Définition
Soit q un réel et (un)n∈N une suite à valeurs réelles.
On dit que (un) est une suite géométrique si, et seulement si :
Pour tout n∈N : un+1=q×un
u0⟶×qu1⟶×qu2⟶×q⋯⟶×qun−1⟶×qun⟶×qun+1
On dit alors que q est la raison de la suite géométrique (un) et u0 son premier terme.
Expression de un en fonction de n
Soit (un) une suite géométrique de raison q.
Si u0 est le premier terme de la suite (un), on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout n∈N,
un=u0×qn.
On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :
un=up×qn−p avec p⩽n.
Somme de termes consécutifs
On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique (un).
La somme se calcule de la manière suivante :
Somme=(1er terme)×1−qnombre de termes1−q
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Comment montrer qu’une suite est géométrique ?
Afin de montrer qu’une suite (un) est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : u1u0 et u2u1.
Considérons par exemple la suite un=4×3n. On a alors u1u0=3 et u2u1=3.
Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante q: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite.
Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que un+1=q×un pour tout n∈N.
En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que un+1=3un.
Or :
3un=3×(4×3n)
3un=4×3n+1
3un=un+1.
Donc (un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0=4×30=4×1=4.
La boucle Pour
La boucle Pour
Dans un algorithme, il est possible de vouloir écrire une boucle que l’on souhaite répéter un nombre de fois connu : on utilise alors une boucle Pour.
Exemple :
On souhaite lancer n fois un dé à six faces et afficher à chaque fois la face obtenue.
Un algorithme qui traduit cet exemple est le suivant.
Variables : n,f (où n est le nombre de répétitions de la boucle, c’est à dire le nombre de lancés et f la face obtenue lors d’un lancé)
Entrée : Saisir n (on indique le nombre de fois que l’on souhaite lancer le dé)
Traitement : (on écrit la boucle Pour, on utilise un nombre i appelé compteur qui varie de 1 à 6 et qui compte ainsi le nombre de répétitions des opérations comprises entre les instructions Pour et Fin Pour)
Pour i allant de 1 à n
nombre_entier(1, 6) →f (il s’agit d’une fonctionnalité préexistante qui permet de donner un nombre entier compris entre 1 et 6 aléatoirement)
Afficher f
Fin Pour
Sortie
Sans les commentaires, l’algorithme est donc :
- Variables : n,f
- Entrée : Saisir n
- Traitement : Pour i allant de 1 à n
nombre_entier(1, 6) →f
Afficher f
Fin Pour
- Sortie
Remarque :
On considère par exemple que l’on souhaite faire n=3 lancés.
Au début i vaut 1. La fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.
On recommence ensuite la boucle, i vaut alors 2. A nouveau, la fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.
On recommence de même la boucle, i vaut alors 3. On obtient un nombre au hasard que l’on affiche.
Enfin, i valant 3, on quitte la boucle et le programme se termine.
Si on avait écrit l’instruction “Afficher f” en dehors de la boucle, l’algorithme aurait alors stocké 6 fois une face et aurait à la fin de la boucle affiché la dernière face obtenue.
