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Annale – Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations du plan

Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

 

Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous. 

 

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Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles. 

 

Théorème 

 

Si O,A,M alignés

    O,B,P alignés

    (AB) // (MP)

Alors OAOM=OBOP=ABMP.

 

Le point O est appelé le point charnière

Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.

 

Exemple :

Les points R,S,U sont alignés ainsi que les points T,R,V.

Les droites (ST) et (VU) sont parallèles. Donnons une valeur approchée de RV à 102.

 

 

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D’après le théorème de Thalès, RURS=RVRT=VUST.

6412=RV10

12×RV=10×64

RV=6401253,33

 

NB : à la toute fin de la vidéo, il y a une erreur de calcul, 640/12=53,3 et non 48 🙂 !!

Trigonométrie

Trigonométrie

 

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

 

Vocabulaire

L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.

Le côté touchant l’angle ˆB autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l’angle ˆB est appelé le côté opposé.

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On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle ˆB par :

cosˆB=côté adjacenthypoténuse

sinˆB=côté opposéhypoténuse

tanˆB=côté opposécôté adjacent

 

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l’Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

 

Propriétés

Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : (cosˆB)2+(sinˆB)2=1

Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle : 

tanˆB=sinˆBcosˆB

 

Exemple : 

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On cherche la valeur de l’angle ˆM.

Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, cosˆM=MOMP

cosˆM=6110,545

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve ˆM56,9°

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

 

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Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB2+AC2=BC2

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

Exemple :

Soit OMP un triangle rectangle en O, tel que OM=5 et MP=13.

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D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle OMP rectangle en O,

OM2+OP2=MP2 

52+OP2=132

25+OP2=169

OP2=16925

OP2=144

OP=144

OP=12

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