Annale – Programme de calcul, développements, Pythagore, trigonométrie

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse. 

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5$ et $MP = 13$.

D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = \sqrt{144}$

$OP = 12$

Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit $ABC$ un triangle,

si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

ou encore

si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse. 

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.

Exemple :

Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$  $TS = 1,6$  $RS = 2$. 

Si l’énoncé ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$). 

Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.

On calcule alors ${RS}^2$ que l’on compare à ${RT}^2 + {TS}^2$.

Ainsi, ${RS}^2 = 2^2 = 4$.

De même, ${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,4}^2 = 1,44 + 2,56 = 4$.

Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$. 

Double distributivité

Double distributivité

La formule de la double distributivité est la suivante :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Exemples : 

a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$. 

On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$. 

Ainsi,

$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4$

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$

La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.

Finalement, 

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$. 

b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$. 

L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme

$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$.

Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$. 

On trouve alors que :

$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$

$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$

$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$

c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$

$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y$

$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$. 

Triangles semblables

Triangles semblables

Définition

Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont les mêmes angles deux à deux. 

Deux triangles peuvent être semblables sans avoir les mêmes longueurs.

Exemple :

Les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont semblables.

Propriété :

Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels alors ils sont semblables.

Exemple :

Soient deux triangles $SKI$ et $TOC$.

Considérons le rapport des longueurs. 

On commence par calculer le rapport des longueurs les plus grandes dans le triangle :

$\dfrac{TO}{SI} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$.

On calcule ensuite le rapport des longueurs “moyennes” :

$\dfrac{CO}{SK} = \dfrac{7,5}{5} = \dfrac{3}{2}$.

Enfin, on calcule le rapport des plus petites longueurs :

$\dfrac{TC}{IK} = \dfrac{4,5}{3} = \dfrac{3}{2}$.

Ainsi, les longueurs des triangles sont proportionnelles : les triangles sont donc semblables. 

Leurs angles sont donc égaux deux à deux.