Annale – Nombres complexes

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Crée ton compte

1
Equations et nombres complexes
2
Forme trigonométrique et exponentielle
3
Argument et angle formé par deux vecteurs

Equations et nombres complexes

Résolution d’équations avec des nombres complexes

Equations du premier degré

Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :

$\bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{C}$ , dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

$\bullet$ $az+b\bar z +c=0$ avec $a$ , $b$ et $c$ dans $\mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$ .

Exemple

Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-\bar z+i=0$ .

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$ . On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :

$(a+ib)-\overline{(a+ib)}+i=0 \Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 \Leftrightarrow 2ib=-i \Leftrightarrow b=-\dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :

$z=a-\dfrac12 i$ , avec $a$ réel.

Equations du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :

$\boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$ , $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :

$\Delta=b^2-4ac$

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

$\bullet$ Si $\Delta >0$ , les deux solutions réelles sont : $z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

$\bullet$ Si $\Delta=0$ , la solution est $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

$\bullet$ Si $\Delta<0$ ,les deux solutions complexes sont : $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

Exemple

Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+\dfrac{25}{4}=0$ .

On a $\Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :

$z_1=\dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=\dfrac{-4-3i}{2}$ .

Forme trigonométrique et exponentielle

Formes trigonométriques et exponentielles

Définition

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

On note $|z|$ le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$ .

On a alors : $\boxed{z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))}$

On appelle alors la quantité $|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ la forme trigonométrique de $z$ .

En posant $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$ , on obtient la forme exponentielle de $z$ :

$\boxed{z=|z|e^{i\theta}}$

Exemple

Donner les formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes suivants :

$a=1+i$ ; $b=i$ et $c=2+2i\sqrt3$

Une méthode consiste à calculer le module du nombre complexe et par la suite de diviser ce nombre par son module pour trouver son argument.

En effet,

si $z=|z|(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$

alors $\dfrac{z}{|z|}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ .

Ainsi,

$|a|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ puis

$\dfrac{a}{|a|}=\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})$ .

Finalement :

$a= \sqrt2 \left[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right]= \sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$ .

De même,

$|b|=\sqrt{1^2}=1$ puis

$\dfrac{b}{|b|}=i = \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})$ .

Finalement :

$b= \cos(\dfrac{\pi}{2})+i\sin(\dfrac{\pi}{2})= e^{i\frac{\pi}{2}}$ .

Enfin,

$|c|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$ puis

$\dfrac{c}{|c|}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2} = \cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})$ .

Finalement :

$c= 4 \left[\cos(\dfrac{\pi}{3})+i\sin(\dfrac{\pi}{3})\right]= 4 e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

Argument et angle formé par deux vecteurs

A savoir par coeur :

Soient $A(z_A), B(z_B), C(z_C), D(z_D)$ quatre points d’un plan complexe.

$arg \left(\dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}\right) = (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}) [2\pi]$

Ainsi $arg \left(\dfrac{z_D – z_C}{z_B – z_A}\right)$ est égal à l’angle formé entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ modulo $2\pi$ .