Annale – Matrices

Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

Définition : matrice diagonale $D_n$

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}$

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

$D_3^{2}=\begin{pmatrix} 3^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^2 & 0\\ 0 & 0 & 2^2\\ \end{pmatrix}$    $\iff$   $D_3^{2}=\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 4\\ \end{pmatrix}$

Puissance d’une matrice carrée

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $n\geqslant {2}$ 

$A^2= A \times A$;

$A^3= A^2 \times A =A \times A^2$

$A^n= A^{n-1}\times A=A\times A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1\\ \end{pmatrix}$ 

$A^2 =\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 9 & -2\\ \end{pmatrix}$ 

$A^3 =\begin{pmatrix} -7 & -4 \\ 12 & -11\\ \end{pmatrix}$

Matrice inverse

Matrice inverse

Définition

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. On note $I_n$ la matrice unité d’ordre $n$.

S’il existe une matrice $B$ tel que :

$A \times B= B \times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

Propriété

 Soit $A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\\ \end{pmatrix}$ une matrice carré d’ordre $2$

Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\\ \end{pmatrix}$

Exemple

Soit $M =\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1\\ \end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 \times 1 – (-1)\times3 =5$

$ad-bc \neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2\\ \end{pmatrix}$    $\iff$    $M^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm] -\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\ \end{pmatrix}$.

On peut aisément vérifier que

$M\times M^{-1}=M^{-1}\times M = I_{2}$