Annale – Intégrales, loi uniforme

Loi uniforme sur [a ; b]

Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$

Définition

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{b-a}$.

On vérifie que  $\displaystyle \int \limits_a^{b}f(x)dx=1$.

Propriétés

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

$\displaystyle P(c\leqslant X \leqslant d)=\frac{d-c}{b-a}$.

Exemple

1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $\pi$ ? 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < X\leq 5)=\displaystyle\frac{5-4}{ 5-0}=\displaystyle\frac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $\pi$ est :

$\displaystyle P(e \leqslant X \leqslant \pi) = \frac{\pi – e}{5-0} \approx 0, 085$

Espérance mathématique – Propriétés

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

$\displaystyle E(X)=\int \limits_a^{b}tf(t)dt= \int \limits_a^{b}t\times \frac{1}{b-a}dt$

Soit après calcul :

$\displaystyle E(X)=\frac{a+b}{2}$.

Remarque :

Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =\displaystyle \frac{0+5}{2}= 2,5$.

La boucle Pour

La boucle Pour

Dans un algorithme, il est possible de vouloir écrire une boucle que l’on souhaite répéter un nombre de fois connu : on utilise alors une boucle Pour. 

Exemple :

On souhaite lancer $n$ fois un dé à six faces et afficher à chaque fois la face obtenue.

Un algorithme qui traduit cet exemple est le suivant.

Variables : $n, f$ (où $n$ est le nombre de répétitions de la boucle, c’est à dire le nombre de lancés et $f$ la face obtenue lors d’un lancé)

Entrée :     Saisir $n$ (on indique le nombre de fois que l’on souhaite lancer le dé)

Traitement : (on écrit la boucle Pour, on utilise un nombre $i$ appelé compteur qui varie de 1 à 6 et qui compte ainsi le nombre de répétitions des opérations comprises entre les instructions Pour et Fin Pour)

                Pour $i$ allant de 1 à $n$

                      nombre_entier(1, 6) $\to f$ (il s’agit d’une fonctionnalité préexistante qui permet de donner un nombre entier compris entre 1 et 6 aléatoirement)

                      Afficher $f$

                Fin Pour

Sortie

Sans les commentaires, l’algorithme est donc :

• Variables :    $n, f$ 
• Entrée :        Saisir $n$ 
• Traitement : Pour $i$ allant de 1 à $n$

                               nombre_entier(1, 6) $\to f$ 

                               Afficher $f$

                           Fin Pour

• Sortie

Remarque :

On considère par exemple que l’on souhaite faire $n = 3$ lancés.

Au début $i$ vaut 1. La fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence ensuite la boucle, $i$ vaut alors 2. A nouveau, la fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence de même la boucle, $i$ vaut alors 3. On obtient un nombre au hasard que l’on affiche.

Enfin, $i$ valant 3, on quitte la boucle et le programme se termine. 

Si on avait écrit l’instruction “Afficher $f$” en dehors de la boucle, l’algorithme aurait alors stocké 6 fois une face et aurait à la fin de la boucle affiché la dernière face obtenue.