Annale – Géométrie dans l’espace

Équation paramétrique d'une droite

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(\alpha;\beta;\gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}$ .

On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite $D$ :

$D\left\{ \begin{array}{ll}x-x_A=k\alpha \\y-y_A=k\beta \\z-z_A=k\gamma\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Exemple

Soit $\Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ , avec $\overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$ .

Donner un système d’équations paramétriques de $\Delta$

Correction

On définit un système d’équations paramétriques de $\Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$ .

$\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x-3=k(-2) \\y-4=-k \\z+5=3k\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

$\iff$ $\Delta\left\{ \begin{array}{ll}x=3-2k \\y=-k+4 \\z=3k-5\end{array} \right.$ avec $k \in \mathbb{R}$

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$\mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

Tout plan $\mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ .

La réciproque est vraie.

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$ .

2) Soit $\mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$ .

Déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

Correction

1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$ .

On a: $\mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$ .

Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P}$ , on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ .

$d=-5$

On conclut que: $\mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$ .

2) Etape 1 : On définit un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$\overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $\overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P}$ , on remplace : $2-8+6z-9=0$ . $z=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$

On a alors : $A\left(1;2;\dfrac{5}{2}\right)$