Exponentielle - Croissances comparées
Croissances comparées
Pour n appartenant à N :
1. limx→+∞exx=+∞ ; limx→+∞exxn=+∞
2. limx→−∞xex=0 ; limx→−∞xnex=0
A savoir aussi :
3. limx→0ex−1x=1
Exercice 1
Calculer : limx→+∞x3−ex.
Corrigé
- étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
Il y en a une de la forme ∞−∞. - étape 2 : On factorise par ex le numérateur et le dénominateur.
limx→+∞ex(x3ex−1) - étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
On sait que limx→+∞exx3=+∞.
Donc limx→+∞x3ex=limx→+∞1exx3=0.
Le terme entre parenthèses tend donc vers −1.
- étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
limx→+∞x3−ex=−∞
Exercice 2
Calculer : limx→+∞ex−x2ex+3.
Corrigé
- étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
Il y en a au moins une au numérateur (de la forme ∞−∞).
- étape 2 : On factorise par ex le numérateur et le dénominateur.
limx→+∞ex−x2ex+3=limx→+∞ex(1−xex)ex(2+3ex)=limx→+∞1−xex2+3ex
- étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
limx→+∞xex=0 et limx→+∞3ex=0
- étape 4 : le numérateur tend vers 1 et le dénominateur tend vers 2. On conclut donc :
limx→+∞ex−x2ex+3=12
Fonctions composées - exp(u(x)) - Exercice
Exercice
Étudions la fonction f(x)=3exe2x+1.
Étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.
Étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’intervalle : en +∞ et en −∞.
Étape 3 : On factorise pour lever l’indétermination.
Étape 4 : On utilise ici que limx→−∞ex=0.
Étape 5 : On utilise la formule (uv)′=u′v–uv′v2 pour étudier les variations.
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels dans l’intervalle I tels que a⩽b.
Alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue sur I=[a,b].
Pour k compris entre f(a) et f(b), on remarque graphiquement qu’il existe un c1 dans [a,b] tel que f(c1)=k.
On voit, aussi qu’il existe deux autres c2 et c3 dans [a,b] tels que f(c2)=k et f(c3)=k. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)
Cas des fonctions strictement monotones
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b] avec a⩽b.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Illustration graphique
La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur I=[2,4].
Pour k compris entre f(2) et f(4), on remarque graphiquement qu’il existe un unique c dans [2,4] tel que f(c)=k.
La boucle Tant que
La boucle Tant que
Lors de certains algorithmes, il est possible d’utiliser des boucles dont on ignore le nombre de répétitions : ce sont les boucles Tant que.
Exemple :
on dispose d’une population d’individus de 3000 habitants qui augmente chaque année de 2%.
On se demande au bout de combien d’années la population aura dépassé 4000 habitants mais on ignore le nombre d’années : on utilise donc une boucle Tant que.
On écrit donc un algorithme qui permettra de trouver le nombre d’années N pour que la population P dépasse 4000.
- Variables : N,P
- Entrée : 3000→P
0→N
- Traitement : (on traduit la question avec un boucle)
Tant que P<4000 (on souhaite connaitre l’année où la population dépasse 4000 habitants donc tant qu’elle est inférieure à 4000 on continue les calculs et on arrête la première fois qu’elle dépasse 4000).
P+0,02P→P
N+1→N
Fin Tant que
- Sortie : Afficher N
Sans les commentaires, l’algorithme est :
Variables : N,P
Entrée : 3000→P
0→N
Traitement : Tant que P<4000
P+0,02P→P
N+1→N
Fin Tant que
Sortie : Afficher N
On peut regarder les différentes valeurs que prennent N et P au début et à la fin de l’algorithme.
Ainsi, au bout d’un an, la population atteint 3060 habitants, P=3060 et N=1.
Or P<4000, on continue donc les calculs.
Au bout de 14 années, la population vaut environ P≈3958.
Mais un an plus tard, au bout de 15 ans, la population vaut P≈4037>4000.
On ne rentre donc plus dans la boucle Tant que et on affiche la valeur de N c’est à dire 15.
Ainsi, il aura fallu 15 ans pour que la population dépasse 4000 habitants.
Le tableau d’avancement du programme est le suivant :
P | N |
3000 | 0 |
3060 | 1 |
⋮ | ⋮ |
≈3958 | 14 |
≈4037 | 15 |