Annale – Fonction exponentielle et algorithme

Fonctions composées - exp(u(x)) - Exercice

Exercice

Étudions la fonction $f(x) = \large\frac{3e^x}{e^{2x} + 1}$.

Étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

Étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’intervalle : en $+\infty$ et en $-\infty$.

Étape 3 : On factorise pour lever l’indétermination.

Étape 4 : On utilise ici que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Étape 5 : On utilise la formule $(\frac{u}{v})’ =\large \frac{u’v – uv’}{v^2}$ pour étudier les variations.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $a\leqslant b$.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

Illustration graphique

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $a\leqslant b$.

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

Illustration graphique

La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.

La boucle Tant que

La boucle Tant que

Lors de certains algorithmes, il est possible d’utiliser des boucles dont on ignore le nombre de répétitions : ce sont les boucles Tant que.

Exemple :

on dispose d’une population d’individus de 3000 habitants qui augmente chaque année de 2%.

On se demande au bout de combien d’années la population aura dépassé 4000 habitants mais on ignore le nombre d’années : on utilise donc une boucle Tant que.

On écrit donc un algorithme qui permettra de trouver le nombre d’années $N$ pour que la population $P$ dépasse 4000. 

• Variables :  $N, P$
• Entrée :     $3000 \to P$

                 $0 \to N$

• Traitement : (on traduit la question avec un boucle)

                 Tant que $P < 4000$ (on souhaite connaitre l’année où la population dépasse 4000 habitants donc tant qu’elle est inférieure à 4000 on continue les calculs et on arrête la première fois qu’elle dépasse 4000). 

                       $P + 0,02P \to P$

                        $N + 1 \to N$

                  Fin Tant que

• Sortie :       Afficher $N$

Sans les commentaires, l’algorithme est : 

Variables :    $N, P$

Entrée :        $3000 \to P$

                    $0 \to N$

Traitement : Tant que $P < 4000$  

                         $P + 0,02P \to P$

                         $N + 1 \to N$

                    Fin Tant que

Sortie :         Afficher $N$

On peut regarder les différentes valeurs que prennent $N$ et $P$ au début et à la fin de l’algorithme.

Ainsi, au bout d’un an, la population atteint 3060 habitants, $P = 3060$ et $N=1$.

Or $P < 4000$, on continue donc les calculs.

Au bout de 14 années, la population vaut environ $P \approx 3958$.

Mais un an plus tard, au bout de 15 ans, la population vaut $P \approx 4037 > 4000$.

On ne rentre donc plus dans la boucle Tant que et on affiche la valeur de $N$ c’est à dire 15.

Ainsi, il aura fallu 15 ans pour que la population dépasse 4000 habitants.

Le tableau d’avancement du programme est le suivant :