Annale – Fonction convexe et exponentielle

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Calculs d'intégrales
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Théorème des valeurs intermédiaires
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Étude de la convexité d'une fonction

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

Soit $F$ , une primitive de $f$ sur $I$ .

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ , on a :

$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt= F(b)- F(a)$ que l’on note aussi

$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx$ .

$J$ = $\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx$ .

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$ .

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx$

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx$

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx$

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$ = $\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2$

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$ .

$I$ = $\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})$

$I$ = $\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2$ (unité d’aire).

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$ .

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$ .

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)$

$J$ = $0$

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $a\leqslant b$ .

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$ .

Illustration graphique

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$ .

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$ .

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$ . (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $a\leqslant b$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$ .

Illustration graphique

La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$ .

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$ , on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$ .

Étude de la convexité d'une fonction

Étude de la convexité d’une fonction

Il existe deux principaux théorèmes permettant d’étudier l’éventuelle convexité ou concavité d’une fonction.

Théorème 1 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ ,

1) $f$ est convexe sur $I \ \iff \ f’$ est croissante sur $I$

2) $f$ est concave sur $I \ \iff \ f’$ est décroissante sur $I$

Pour étudier la convexité d’une fonction, il suffit d’étudier les variations de sa dérivée.

Exemple :

Etudions la fonction $f(x) = x^2 -3x +2$ sur l’intervalle $I = \mathbb{R}$ .

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\ f'(x) = 2x – 3$ .

La dérivée de $\ f$ est une fonction affine. Le cours permet de conclure que $\ f’$ est croissante car $2>0$ .

Ainsi, comme $\ f’$ est croissante sur $I$ , $f$ est convexe sur $I$ .

Théorème 2 :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et on suppose de plus que $\ f”$ existe sur $I$ ( $f”$ est la dérivée de la dérivée : c’est la dérivée seconde de $f$ ),

1) si pour tout $x \in I, \ f”(x) \geq 0$ , alors $\ f$ est convexe sur $I$

2) si pour tout $x \in I, \ f”(x) \leq 0$ , alors $\ f$ est concave sur $I$

Ces deux théorèmes sont liés.

En effet, si on suppose que $\ f”(x) \geq 0$ , cela implique que $\ f’$ est croissante et dans les deux cas, $f$ est convexe.

Exemple :

Soit $f(x) = x^2$ , on veut démontrer que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

Soit $x \in \mathbb{R}$ , on calcule dans un premier temps $\ f'(x) = 2x$ puis la dérivée seconde $\ f”(x) = 2 \geq 0$ .

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}, \ f”(x) \geq 0$ , donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .