Annale – Exponentielle, intégrale et algorithme

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Crée ton compte

1
Fonctions composées - exp(u(x))
2
Définition de l'intégrale - Exercice
3
Opérations sur les primitives
4
Calculs d'intégrales

Fonctions composées - exp(u(x))

Fonctions composées

Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée

$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$ .

Exemple

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$ .

Déterminons sa dérivée.

On pose : $u(x)= -3x^2+x$ .

On a donc : $u'(x)=-6x+1$ .

On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$ .

Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$ .

Autre exemple

Etudier les variations de la fonction $f(x)$ = $\displaystyle \frac{3e^x}{e^{2x}+1}$ .

étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

$Df= \mathbb{R}$ car $e^{2x}$ ne peut être égal à $-1$ , c’est toujours positif.

étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’ensemble de définition : en $+\infty$ et en $-\infty$ .

On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l’indétermination.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x\times 3}{e^{x}(e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}})}=\lim \limits_{x \rightarrow +\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty}\frac{3}{e^{x}+\displaystyle\frac{1}{e^{x}}}=0$ car

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow -\infty}e^x+\frac{1}{e^x}=+\infty$

étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ .

On utilise la formule suivante :

$\displaystyle (\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$ .

$\displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x \hspace{0.2cm} \text{et} \hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

$\displaystyle f'(x)= \frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$ .

Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$ .

On a :

$(1-e^x)\geq 0 \iff 1\geq e^x \iff 0\geq x$

On en déduit le tableau de variations :

Définition de l'intégrale - Exercice

Calculons $I = \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ .

Étape 1 : On repère l’aire recherchée.
Étape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.
Étape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :
$A = \frac{(B + b) \times h}{2}$ .

Opérations sur les primitives

Opérations élémentaires sur les primitives

Propriétés

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.

Fonction	Une primitive	Conditions
$u’+v’$	$u+v$
$ku’$ (avec $k$ constante)	$ku$
$u’u^n$ avec $n$ appartient à $\mathbb{Z}$ et différent de $-1$	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	$u$ différent de $0$ sur $I$ si $u\leq 0$
$\dfrac{u’}{\sqrt u}$	2 $\sqrt u$	$u>0$ sur $I$
$\dfrac{v’}{v^2}$	$-\dfrac{1}{v}$	$v\neq 0$ sur $I$
$u’e^{u}$	$e^{u}$
$\dfrac{u’}{u}$	$\ln(u)$ $\ln(-u)$	$u>0$ sur $I$ $u<0$ sur $I$
$u'(v’\circ u)$	$v\circ u$

Exemples

1. Chercher une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $f(x) = x e^{x^2+ 1}$

2. Chercher une primitive sur $\mathbb{R}$ de : $g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$ .

Correction

1. $f(x) = x e^{x^2+ 1}$

Etape 1 : On cherche les expressions de $u$ et $u’$ pour arriver à la forme $u’ e^u$ .

$u (x) = x^2+ 1$ et $u'(x)= 2x$

Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $\dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “ $2$ ” manquant.

$f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1}$

$f(x)=\dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x)$

Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.

$F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$

2. $g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$

Etape 1 : On note $u(x)= x^2 + x + 1$ et $u'(x)=2x+1$ . On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître $u'(x)$ .

On a : $g(x) = \dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$ .

Soit : $g(x) = \dfrac{3u'(x)}{u(x)}$ .

Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $\mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.

$G(x) = 3\ln (x^2 + x + 1)+ c$

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

Soit $F$ , une primitive de $f$ sur $I$ .

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ , on a :

$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt= F(b)- F(a)$ que l’on note aussi

$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx$ .

$J$ = $\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx$ .

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$ .

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx$

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx$

$I$ = $\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx$

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$ = $\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2$

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$ .

$I$ = $\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})$

$I$ = $\displaystyle \dfrac{3}{2}+3\ln 2$ (unité d’aire).

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$ .

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’\times u^3$ .

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4} \int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4\right]_{0}^1$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left((\dfrac{1}{4}(1)^4)-(\dfrac{1}{4}(-1)^4)\right)$

$J$ = $\displaystyle \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)$

$J$ = $0$