Annale – Cubes et tétraèdres

Revenir au chapitre

Crée ton compte

1
Espace, droites et plans
2
Équation cartésienne d'un plan

Espace, droites et plans

Définitions

Une droite de l’espace peut être définie par :

deux points ou
un point et un vecteur directeur.

Un plan peut être défini par :

trois points non alignés

Une droite et un point extérieur à la droite

Deux vecteurs non colinéaires et un point

Repères et coordonnées

Définition

On appelle repère de l’espace tout quadruplet $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})$ constitué d’un point $O$ de l’espace et de trois vecteurs non coplanaires.

On note $(Ox)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{i}$ , $(Oy)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l’axe dirigé par $\overrightarrow{k}$ .

Lorsque les droites $(Ox)$ , $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus $||\overrightarrow{\imath}||=||\overrightarrow{\jmath}||=||\overrightarrow{k}||=1$ , le repère est dit orthonormal.

Théorème

Soit $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})$ un repère de l’espace.

Pour tout point $M$ de l’espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que

$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ .

On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$ .

Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d’un plan

Définition

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$\mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

Propriété

Tout plan $\mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ .

La réciproque est vraie.

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$ .

2) Soit $\mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$ .

Déterminer un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

Correction

1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{n}$ .

On a: $\mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$ .

Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P}$ , on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ .

$d=-5$

On conclut que: $\mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$ .

2) Etape 1 : On définit un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $\mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$\overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $\overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P}$ , on remplace : $2-8+6z-9=0$ . $z=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$

On a alors : $A\left(1;2;\dfrac{5}{2}\right)$