Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité dans Z
Définition
Soient a et b, deux entiers relatifs, avec b non nul.
On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a=kb.
On note b|a.
Propriétés
Pour a non nul, a|a.
Pour a, b et c non nuls, si a|b et b|c alors a|c.
Exemple
Montrer que N=a(a2−1) est divisible par 6 lorsque a∈N.
étape 1 : N est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.
étape 2 : On réécrit N grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.
N=a(a2−1)
N=a(a−1)(a+1)
N=(a−1)a(a+1)
étape 3 : Si a est pair, on remplace a par 2k (k∈N).
N=(2k−1)2k(2k+1)
étape 4 : N s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc N est pair.
étape 5 : Si a est impair, on remplace a par 2k+1.
N=(2k+1)2k(2k+2)
On arrive à la mÍme conclusion et N est donc divisible par 2 dans tous les cas (a pair ou impair).
étape 6 : Si a est multiple de 3, alors a=3k. On remplace a par 3k.
N=(3k−1)3k(3k+1) On en conclut que N est multiple de 3.
étape 7 : On répËte la mÍme opération avec a=3k+1 puis avec a=3k+2.
Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que N est divisible par 3.
N est divisible par 2 et 3 donc N est divisble par 6.
Division euclidienne dans Z
Définition
Soient a et b, deux entiers naturels et b non nul.
Effectuer la division euclidienne de a par b revient à déterminer l’unique couple (q;r) d’entiers naturels tels que :
a=bq+r avec 0⩽r<b.
On nomme q le quotient et r le reste.
Exemple
Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de 753 par 82.
On a : 753=82×9+15.
On obtient donc : q=9 et r=15. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82
Les nombres premiers
Les nombres premiers
Définition
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2.
n est premier si et seulement si n admet deux diviseurs : 1 et lui-même.
Théorème
Tout n∈N avec n≥2 admet au moins un diviseur premier.
Si n n’est pas premier et n≥2 alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et √n
Décomposition en facteurs premiers
Théorème
Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.
n=pα11×pα22×………pαrr
Avec pi,i∈{1;r} sont des nombres premiers distincts et αi,i∈{1;r} des entiers.
Exemple
On décompose 96 en produit de facteurs premiers :
étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.
étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.
étape 3 : On continue tant qu’on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.
étape 4 : On s’arrête lorsque le reste vaut 1.
étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :
96=25×3
Matrice et système linéaire
Matrices et systèmes d’équations linéaires
Définition
On considère le système d’équations suivant :
{x+y+2z=9x−y+z=22x+y−z=1
Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :
A=(1121−1121−1) ; X=(xyz) et
B=(921).
Le système se traduit alors par : AX=B.
Propriété
Si AX=B et A inversible alors
X=A−1×B.
Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse A−1 est donnée dans l’énoncé.
Etape 2 : On effectue le produit X=A−1×B.
Le calcul nous permet de conclure que :
X=(123).
La solution du système est donc le triplet (1;2;3).
Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.
Résoudre le système d’équations suivant :
{2x−y=−83x+y=−7
On peut le traduire par AX=B avec :
A=(2−131) ; X=(xy) et
B=(−8−7).
En considérant A=(2−131), on vérifie que :
ad−bc=5≠0.
On peut alors calculer :
A−1=15(11−32)
⟺ A−1=(1515−3525).
On a donc :
X=A−1B=(1515−3525)×(−8−7)=(−155105).
X=(−32).
La solution du système est le couple (−3;2)
