Angle orienté et lignes trigonométriques

Angle orienté et lignes trigonométriques

Angle orienté et lignes trigonométriques

Le cercle trigonométrique est un cercle de centre $O$ et de rayon 1. 

On place le point $M$ sur le cercle défini par un réel en radian, qui correspond à un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ ou encore de 60° par rapport à l’axe des abscisses. 

Cependant, le point $M$ correspond à d’autres réels. En effet, si on tourne d’un tour autour du cercle, on retrouve le point $M$.

Comme le cercle a un rayon de 1, faire un tour signifie rajouter $2 \pi$.

Ainsi le point $M$ est aussi défini comme le réel $\dfrac{\pi}{3} + 2 \pi = \dfrac{7\pi}{3}$.

Donc le point $M$ correspond à une infinité de point de la forme $\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ ou encore $\dfrac{\pi}{3} (\text{modulo } 2 \pi)$.

Le cosinus correspond à l’abscisse du point $M$ alors que le sinus correspond à son ordonnée. 

Application : 

On cherche à trouver l’angle entre deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Pour se faire, il faut dans un premier temps les reporter sur le cercle trigonométrique en gardant leur sens et leur direction. L’angle entre les deux vecteurs correspond alors à la longueur de l’arc de cercle compris entre ces deux vecteurs. 

On notera ainsi $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = a + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

La mesure principale d’un angle est l’unique valeur de l’angle comprise entre $]- \pi; \pi]$.