Produit de matrices
Produit de matrices
Produit de matrices
Définition
Soit A une matrice (n×p).
Soit B une matrice (p×m).
Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.
Exemple
Soit A=(1230−12) une matrice (2×3) et
B=(1420−13) une matrice (3×2)
On peut calculer le produit A×B des matrices de la façon suivante :
A×B=(1×1+2×2–1×31×4+2×0+3×31×0+2×(−1)+2×(−1)4×0+(−1)×0+3×2)
A×B=(213−46)
Remarque :
On peut ici effectuer le produit B×A car les dimensions des matrices s’y prêtent.
Ce n’est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.
On dira que le produit des matrices n’est pas commutatif.
Puissance d'une matrice
Puissance d’une matrice carrée
Définition : matrice diagonale Dn
Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.
Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.
D3=(3000−10002)
Puissance d’une matrice diagonale Dn
Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice D3, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :
D23=(32000(−1)200022) ⟺ D23=(900010004)
Puissance d’une matrice carrée
De façon générale, pour toute matrice carrée A et pour tout entier n⩾2
A2=A×A;
A3=A2×A=A×A2
An=An−1×A=A×An−1
Exemple
Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.
A=(2−131)
A2=(1−39−2)
A3=(−7−412−11)
Matrice inverse
Matrice inverse
Définition
Soit A une matrice carrée d’ordre n. On note In la matrice unité d’ordre n.
S’il existe une matrice B tel que :
A×B=B×A=In,
Alors A est inversible et sa matrice inverse est B=A−1.
Propriété
Soit A=(abcd) une matrice carré d’ordre 2
Si ad−bc≠0 alors A est inversible et sa matrice inverse A−1 vaut :
A−1=1ad−bc(d−b−ca)
Exemple
Soit M=(2−131).
Vérifier que M est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Correction
On calcule :
ad−bc=2×1–(−1)×3=5
ad−bc≠0 M est donc inversible.
Déterminons sa matrice inverse M−1
On a:
M−1=15(11−32) ⟺ M−1=(1515−3525).
On peut aisément vérifier que
M×M−1=M−1×M=I2
Matrice et système linéaire
Matrices et systèmes d’équations linéaires
Définition
On considère le système d’équations suivant :
{x+y+2z=9x−y+z=22x+y−z=1
Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :
A=(1121−1121−1) ; X=(xyz) et
B=(921).
Le système se traduit alors par : AX=B.
Propriété
Si AX=B et A inversible alors
X=A−1×B.
Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse A−1 est donnée dans l’énoncé.
Etape 2 : On effectue le produit X=A−1×B.
Le calcul nous permet de conclure que :
X=(123).
La solution du système est donc le triplet (1;2;3).
Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.
Résoudre le système d’équations suivant :
{2x−y=−83x+y=−7
On peut le traduire par AX=B avec :
A=(2−131) ; X=(xy) et
B=(−8−7).
En considérant A=(2−131), on vérifie que :
ad−bc=5≠0.
On peut alors calculer :
A−1=15(11−32)
⟺ A−1=(1515−3525).
On a donc :
X=A−1B=(1515−3525)×(−8−7)=(−155105).
X=(−32).
La solution du système est le couple (−3;2)
