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Factorisation de xn1 par x1

Factorisation de xn1 par (x1)

Factorisation de xn1 par (x1)

 

Racine évidente

 

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2,

on définit pour tout xR le polynôme P(x)=xn1.

Ce polynôme admet pour racine évidente 1.

Ainsi, on peut factoriser ce polynôme et l’écrire sous la forme P(x)=(x1)×Q(x), avec Q un polynôme de degré n1

On regarde pour les premières valeurs de n la forme du polynôme Q.

 

Si n=2, alors P(x)=x21

On reconnait ici une identité remarquable. 

Ainsi, P(x)=(x1)(x+1), et Q(x)=x+1

On remarque que les coefficients de Q sont tous égaux à 1

 

Si n=3, alors P(x)=x31

Ainsi, P se factorise sous la forme P(x)=(x1)(ax2+bx+c)

Pour trouver la valeur des coefficients a,b,c, on développe le polynôme puis on conclut sur leurs valeurs par l’égalité des coefficients. 

P(x)=ax3+bx2+cxax2bxc=ax3+(ba)x2+(cb)xc

Ainsi, comme deux polynômes sont égaux si ils ont les mêmes coefficients, on a ainsi :

a=1, ba=0, cb=0 et c=1.

Après résolution on trouve que P(x)=(x1)(x2+x+1)

Les coefficients du polynôme Q sont tous égaux à 1.

 

Propriété

 

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2,

xn1=(x1)(xn1+xn2++x+1).

On note que tous les coefficients du second polynôme sont égaux à 1.

 

Preuve :

En effet, développons (x1)(xn1+xn2++x+1).

On a :

(x1)(xn1+xn2++x+1)=xn+xn1+xn2++x2+x(xn1+xn2++x+1).

On remarque alors que tous les termes de la somme s’annulent deux à deux sauf xn et 1, ainsi on a bien :

xn1=(x1)(xn1+xn2++x+1).

 

Exemple 

Si n=4, P(x)=x41.

D’après la propriété précédente, on a P(x)=(x1)(x3+x2+x+1)

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